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Amendoins de Cantor

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Gordo comendo amendoim com casca é aquela coisa: fica catando desesperadamente a cumbuca até achar "o último amendoim" no meio das cascas vazias. Dá a impressão de que, se procurarmos o suficiente, acharemos mais um amendoinzinho.

Mas como sabemos, chega um momento em que realmente não há mais nenhum amendoim, e isto sempre parece contra-intuitivo. A intuição é que, dado um esforço suficiente de catação, mais um amendoim vai aparecer.

Talvez porque nosso instinto pensa em termos de números reais, mas a quantidade de amendoins é sempre um número natural. São dois tipos completamente diferentes de número.

No primário, aprendemos primeiro os números naturais, depois os inteiros, depois os reais. De certa forma encaramos os números naturais como coisa "pra criança", mas não é. Eles têm vida própria, separada dos números reais.

Um velho livro, chamado "Maravilhas da Matemática", de Lancelot Hogben, que procura explicar temas complicados como estatística e cálculo de forma acessível, aborda esta questão logo na Introdução.

Um exemplo que o autor dá, é a largura de um terreno. Digamos que o terreno possua 15,5m de largura. Mas nós sabemos que a largura não é exatamente essa. Não pode ser. Sempre há uma "tolerância", uma incerteza, causada pela imprecisão da fita métrica, da técnica do agrimensor, e outros fatores que são impossíveis de evitar.

Embora seja impossível, por exemplo, determinar onde está exatamente a meia-largura do terreno (7,25m), temos absoluta certeza que passamos por este ponto quando caminhamos ao longo do terreno de ponta a ponta. Ou seja, o ponto 7,25, e portanto o número 7,25, existem. Só não sabemos exatamente onde ele está...

Também usamos números para expressar, por exemplo, quantas maçãs há num cesto, ou quanto dinheiro possuímos. Mas neste caso, a quantidade é perfeitamente definida. Se há cinco maçãs, é cinco e acabou-se.

Alguém poderia argumentar que isso não vale para dinheiro porque há valores fracionários, mas note que não há divisões menores que um centavo; a quantidade de centavos que eu tenho na carteira pode ser determinada com exatidão.

Muita, muita gente "assunta" essa dicotomia do número, embora não consiga enxergar que o número possui realmente duas naturezas distintas.

Um paralelo curioso ocorre com o dinheiro. O dinheiro também serve a mais de um propósito. Ele expressa poder de consumo e também expressa um montante de capital. Por capital, entendemos tudo que produz renda. A "ponte" que permite uma mesma unidade monetária expressar ambas as coisas é a taxa de juros.

Nem sempre foi assim. Cobrar juros já foi proibido. A razão "oficial" era a proibição religiosa, mas havia um motivo mais profundo para isto: apenas a terra era considerada capital, e apenas os nobres podiam possuir terra. Proibir que o capital fosse expresso em unidade monetária era um dos mecanismos de manter essa segregação, impedindo que um servo particularmente trabalhador ou pão-duro pudesse adquirir capital.

Na verdade, muita gente ainda hoje não consegue enxergar dinheiro como métrica de capital; só vê sentido como métrica do consumo. Quanto mais "medieval" o pensamento, mais separadamente a pessoa trata uma coisa da outra.

Ok, estou me desviando do assunto, isto é para ser um artigo sobre matemática, não sobre economia.

Talvez tenha soado estranho dizer, mais acima, que números naturais e reais sejam duas coisas completamente distintas.

Mas veja que, por exemplo, números primos, divisão com resto e muitas outras coisas interessantes (e importantíssimas) da matemática só fazem sentido para os naturais, ou inteiros; não fazem sentido para os números fracionários.

É verdade que podemos associar um número real redondo para cada número natural (1 com 1.00000, 2 com 2.0000 e assim por diante), mas isto não quer dizer que sejam a mesma coisa.

Quem estuda teoria dos conjuntos, acaba descobrindo razões mais científicas para considerá-los de fato coisas diferentes. Apesar de haver infinitos números naturais e infinitos números reais, o conjunto dos reais é "mais numeroso".

Os números naturais, enquanto conjunto, têm a interessante propriedade de serem contáveis. Um conjunto com uns poucos números, digamos, [1, 2, 4, 6] é obviamente contável. Mas o conjunto de todos os naturais [0, 1, 2, 3, 4, 5...], apesar de infinito, continua sendo contável. Sabemos que entre o elemento 0 e o elemento 5 existem apenas 1, 2, 3, 4, e nada mais. Também sabemos que depois do 3, vem necessariamente o 4.

Já o conjunto dos números reais, além de infinito, é incontável. Delimitar uma faixa (digamos, de 0,00 até 0,01) cria outro conjunto infinito. Sempre podemos achar um número real que fique "ensanduichado" entre outros dois, basta adicionar mais casas decimais.

Mais importante que isso: há tantos números na pequena faixa entre 0 e 0,01 quanto há no conjunto completo dos reais. É incrível mas é verdade. Veja que a função

f(x) = x / (0,01 - x)

resulta em 0 para x=0 e tende ao infinito quando x aproxima-se de 0,01. Ou seja, consigo "produzir" qualquer número real positivo a partir de um "x" que varia apenas de zero a 0,01.

Isto não seria possível no conjunto dos números naturais. Não existe uma função que "fabrique" qualquer número natural até o infinito a partir de uma pequena faixa, simplesmente porque uma faixa de números naturais é forçosamente finita e contável.

Também não existe nenhuma função que relacione cada número real com um número natural. Por exemplo, a função

f(x)=x * 100,0

com "x" real, relaciona 0,01 com 1, 0,02 com 2 e assim por diante. Mas o número real 0,015 não está relacionado a nenhum natural, nesta função. Qualquer que seja a função, sempre ficarão muitos números reais "de fora" da relação.

Podemos então afirmar que "há mais" números reais que naturais, muito embora sejam dois conjuntos infinitos. Em linguagem científica, a cardinalidade dos reais é maior. É bastante estranho isso, constatar que existem diferentes "infinitos"...

Um dispositivo interessantíssimo para demonstrar a não-contabilidade dos números reais, é o argumento diagonal de Cantor. A partir de um conjunto de números reais, infinito mas pretensamente contável, eu sempre consigo fabricar um número real completamente diferente. Exemplo:

0,333...
0,444...
0,555...
...

Para fabricar um número "inédito", observo o primeiro dígito decimal do primeiro número, e escolho um número diferente. Vamos adotar a tática de pegar o próximo dígito, então 3 vira 4, 4 vira 5, etc. Repito o procedimento para todos os dígitos seguintes.

0,333...
0,444...
0,555...
...
----------
0,456....  (número diferente de qualquer outro que já havia)

Se eu pude construir um número novo, é porque a lista original não estava completa, apesar da alegação inicial de que estava. E adicionar meu novo número à lista não a torna completa, pois posso repetir novamente o mesmo processo:

0,33333...
0,44444...
0,55555...
0,4567....
...
------------
0,4568.... 

Esse argumento não é bem uma prova, mas sim uma demonstração palpável de que não pode existir algo como uma lista exaustiva dos números reais.

Uma fina observação: note que podemos fazer a diagonalização porque uma seqüência infinita de dígitos pode ser um número real válido, desde que haja uma vírgula decimal no lugar certo. Por exemplo, o número Pi (3,1415926...). Já uma sequência infinita de dígitos sem vírgula decimal (31415926...) não é um número inteiro válido, e não podemos usar a diagonalização de Cantor para "fabricar" inteiros válidos.

Aspectos curiosos de alguns outros conjuntos, numéricos ou não

Um programa de computador é uma sequência finita de números pequenos (bytes), portanto pode ser representado por um único número natural (bem grande, é claro). Assim, o conjunto de todos os programas de computador e/ou algoritmos é infinito porém contável.

Mas o conjunto de todas as possíveis funções envolvendo números naturais é infinito e incontável. Portanto, há funções (ou problemas) que não podem ser resolvidas por um programa de computador.

O conjunto dos inteiros Z (que inclui números negativos) pode ser relacionado com os naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5... pode ser transformado em 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3... Portanto Z tem a mesma cardinalidade dos naturais e é contável.

Mais surpreendentemente, podemos relacionar o conjunto dos números fracionários, também denominados racionais, com os naturais. Assim, o conjunto Q também é contável. Isso apesar do fato de existirem infinitas frações entre, por exemplo, 0 e 1 (exemplos: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6...).

Dizem que, quando Cantor conseguiu provar isso, falou: "Eu vejo, mas não acredito!".

Figura 1: Georg Cantor

Se Q (conjunto dos racionais) é contável, e R (conjunto dos reais) é incontável, então deduzimos que o conjunto I (números irracionais) é incontável e maior que Q. Há mais números irracionais que racionais, muito embora lidemos com pouquíssimos números irracionais no dia-a-dia (o número Pi é um deles).

Perguntaram "o que eu ando fumando" para escrever os últimos posts. Digamos que os livros a seguir sejam realmente "fumo para a mente":

a) MENEZES, Paulo Blauth. Matemática Discreta para computação e informática. Editora Sagra-Luzzatto.

Este livro é de uma série que foi produzida pela UFRGS como material didático. Eu comprei a série toda, mas honestamente acho que apenas o livro citado, de número 16, é interessante o suficiente fora do contexto "estudar para passar de ano".

Foi a primeira vez em que lamentei não ter me graduado em Ciência da Computação, no sentido que "putz, perdi um assunto interessante".

b) "e": A história de um número.

Este é um livro absurdamente agradável de ler e informativo.

Infelizmente, "sumiu" quando emprestei para algum colega de trabalho do meu emprego anterior. Outro livro excelente, "O Último Verão Europeu", perdi pelo mesmo processo. O suspeito número 1 é, naturalmente, o Bitcho.

c) E é claro um monte de artigos da Wikipedia.

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