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Juros compostos e capitalização contínua

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Acho que todo mundo já sabe o que são juros compostos. Longos anos de juros reais altos e a tendência de nós brasileiros de contraírmos dívidas se encarregaram de ensinar como os juros compostos funcionam, da forma mais difícil.

No juro simples, o dinheiro é "carimbado" com duas cores diferentes: principal e juros. Se por exemplo você tomar emprestado 100 reais, e o juro é 50% ao ano, simples, você passa a dever 150 no fim do ano. Se você não pagar nem os 50 de juros, a dívida vai subindo para 150, 200, 250, 300... conforme passam os anos. O principal permanece sempre o mesmo, mas sua dívida em juros obviamente vai acumulando.

Já o juro composto trata ambos os dinheiros, principal e juros, como uma coisa só. Uma vez que sua dívida de 100 virou 150, por conta do juro, o principal passa a ser 150, e e os 50% de juros passam a correr sobre todo ele. No segundo ano, sua dívida subirá para 225 ao invés de 200.

Muitos consideram isto injusto. Mas na verdade os juros simples é que são injustos, pois criam uma vantagem para o mau devedor, pois ele pode auferir lucro atrasando o pagamento e aplicando seu dinheiro em outro investimento. Como diz um corolário: "A dívida de juro mais baixo é a que o devedor mais vai demorar para pagar".

A principal queixa dos devedores de juros compostos, é que o juro composto é um processo exponencial. A taxa de juros é elevada ao tempo (potenciação) ao invés de simplesmente multiplicada pelo tempo. É aí que uma dívida de 10 mil reais, submetida a juros de cheque especial, pode chegar a 3 milhões em poucos anos.

O juro composto tem uma pegadinha, que é rotineiramente usada para enganar as pessoas. É a "taxa nominal". Por exemplo, uma taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada mensalmente. Isso dá 1% ao mês. No entanto, se acumularmos 1% doze vezes (1.0112), chegamos numa taxa efetiva de 12,68% ao ano.

Ou seja, aumentar o número de capitalizações de uma taxa aumenta seu valor efetivo. No caso dos 12% versus 12.68%, a diferença parece irrelevante. No entanto, se considerarmos uma taxa de 10% ao mês, que alguns comerciantes inescrupulosos anunciam como "120% ao ano", a taxa efetiva chega a 213% ao ano! Duas vezes mais que a taxa nominal.

Mas existe uma situação em que essa diferença entre taxa nominal e taxa efetiva acontece por razões legítimas, fora do controle de quem recebe o juro.

Por exemplo, suponha que eu tenha um banco, e empreste dinheiro a 1% ao mês, capitalizado mensalmente. Portanto esta é a taxa efetiva do ponto de vista do devedor, não há enganação alguma.

Mas eu não tenho apenas um cliente, eu tenho inúmeros clientes, e a dívida de cada um conta juros num dia diferente. Ou seja, meu capital é remunerado diariamente, não mensalmente. A cada dia, eu recebo 1% sobre 1/30 avo do meu capital. Como meu banco é bem administrado, eu pego o dinheiro recebido e empresto novamente no mesmo dia.

Do meu ponto de vista, 1% ao mês é a taxa nominal, mas como ela é capitalizada 30 vezes por mês, a taxa real acaba sendo um pouco maior, 1.0047%. Parece pouco excitante, mas no fim do ano dá 12.74% ao ano ao invés de 12% ou 12.68%. Quanto maior o horizonte de tempo considerado, mais essa diferença será lucrativa.

Outra forma de entender o ganho adicional pela capitalização freqüente, é o seguinte: se você empresta a apenas uma pessoa hoje, só recebe o juro daqui a um mês. Por outro lado, se você compra um banco funcionando, os juros começam a pingar já a partir de amanhã.

Essa pequena vantagem que você terá em receber juros antecipadamente, corresponde exatamente à diferença entre juro real (auferido no banco) e nominal (auferido num empréstimo único). Ainda que, do ponto de vista dos devedores do banco, nada mude.

Nessa altura do campeonato, alguém vai pensar: "descobri uma fonte de dinheiro, basta eu capitalizar em períodos cada vez menores!". Calma lá. Aumentar o número de capitalizações realmente aumenta a taxa efetiva, mas esse aumento tende a um LIMITE, não vai até o infinito não.

Por exemplo, se capitalizássemos 1% ao mês de hora em hora, nossa taxa seria de 1.005% ao invés de 1.0047%. Se capitalizássemos de segundo em segundo, a taxa aumenta para 1.00501%.Podemos escolher períodos cada vez menores que a taxa não vai passar muito disso.

Mas qual é o valor máximo que esta taxa real pode assumir? Simples: o número "e" (2.7182818...) elevado à taxa de juros. No caso, e0.01 resulta em 1.0050167%. Esta é a taxa efetiva quando se capitaliza uma taxa nominal de 1% ao mês em períodos infinitamente curtos. A literatura chama isso de "capitalização contínua".

Diversos matemáticos ao longo da História descobriram o número "e" desta forma: tentando achar o limite da fórmula (1/x)x quando "x" tende ao infinito. A mais antiga tentativa registrada foi a dos babilônios, que estavam justamente tentando lidar com o problema da taxa nominal × taxa real de juros.

No mundo dos investimentos, especialmente ações e opções, é mais comum as fórmulas de juros usarem capitalização contínua (número "e" elevado ao juro) do que capitalização discreta (juro elevado ao tempo). Por quê?

Por dois motivos básicos:

1) O motivo "bonito" é que a capitalização contínua representa melhor uma carteira de ações. Pois cada empresa da carteira paga dividendos, juros, etc. num dia diferente. Dada uma carteira suficientemente diversificada, pinga dividendo e juro todo dia. E assim a taxa nominal de dividendos acaba sendo "engordada" pelo efeito da capitalização freqüente.

2) O motivo "feio" é que a função exponencial (potências do número "e") é muito fácil de lidar, matematicamente falando. Principalmente quando os cálculos envolvem derivadas, integrais e equações diferenciais, tudo fica mais fácil com o "e" na jogada. É precisamente o caso da precificação de opções.

Engraçado que nenhum livro de matemática financeira que eu tenha lido explicou a capitalização contínua nos termos acima. Alguns até citam-na, mas meramente como curiosidade matemática, e para provar que não é possível atingir uma taxa infinita de juros meramente diminuindo o período de capitalização. As informações acima foram obtidas no livro "Black-Scholes and Beyond". (Por isso que eu gosto de estudar sobre opções; mesmo não se investindo nelas, aprende-se muito sobre os demais investimentos!)

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