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Matemática financeira para completos iniciantes

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NOTA: esse artigo vai ser atualizado periodicamente conforme aparecer mais conteúdo relevante.

Matemática financeira em geral (juros, prestações, valor presente, valor futuro) é uma coisa difícil de aprender.

Eu posso dizer por experiência própria: me considero um cara razoavelmente inteligente, mas precisei de toda a ajuda disponível, precisei que alguém literalmente "pegasse na minha mão" para entender o negócio.

Aprender as fórmulas, aprender a lidar com a calculadora financeira — essa é a parte fácil. A parte difícil é compreender o que está acontecendo. Na minha opinião, os cursos e cadeiras de matemática financeira dão excessiva ênfase à matemática. A maior ênfase deveria ser a interpretação de problemas reais. É o que vou tentar fazer neste artigo, por meio de anedotas.

E matemática financeira não é algo que se aprenda apenas pra passar em concurso. É algo que todo mundo devia aprender, e bem, no ensino fundamental. A falta de consciência financeira da população é um problema mundial. O povo é rotineiramente logrado, ou pelo menos sobretaxado, por meio de juros e taxas ocultos.

Anedota 01: Compra em 1+1 parcelas

Você quer comprar um ar condicionado de R$ 1.000, mas não tem todo o dinheiro agora. Mas você também não quer fazer prestações a perder de vista. O comerciante oferece uma opção: 5% ao mês de juros, o valor fica R$ 1.050. Metade à vista (R$ 525), a outra metade no próximo mês.

O juro é meio salgado, mas é melhor que o rotativo do cartão de crédito. Certo? Certo? Qual é a pegadinha?

A pegadinha é a seguinte: você já está pagando R$ 525 à vista. Não pode correr juro algum sobre essa parte. Como o valor total à vista era R$ 1.000, o saldo financiado é de apenas R$ 475 (1000 menos 525). Dali a 30 dias, você vai pagar outros R$ 525, que é 11% maior que 475. Ou seja, a taxa de juros real da operação é quase 11% ao mês!

Esse é o "truque mais velho do livro" com que os comerciantes iludiam as pessoas. Hoje em dia, safadezas tão primárias como esta são menos comuns. Mas certamente ainda acontecem.

Para calcular o juro real dessa operação, a seqüência na HP-12C é:

f CLEAR FIN
g BEG            (porque a 1a prestação é à vista)
2 n              (duas prestações)
1000 PV          (valor presente é o valor total à vista)
525 CHS PMT      (prestação definida pelo comerciante é 525)
i i		 (calcula taxa de juros - deve resultar 10,53%)

Por ser uma operação tão simples, nem é preciso uma calculadora financeira para determinar a taxa real de juros. Basta dividir 525 por 475, o que resulta em 1.1053, ou seja, 525 é 10.53% maior que 475.

Anedota 02: Compra em 6 prestações

Você resolveu colocar um ar-condicionado mais potente para refrigerar a sala de estar. O valor à vista do mesmo é R$ 2.400, que você gostaria de pagar em umas 6 prestações, desta vez sem entrada.

O comerciante calcula juros compostos de 5% ao mês, usando a HP-12C, chegando a um resultado de R$ 3.216. Dividido por seis, dá uma prestação de R$ 536. Como o vendedor usou a calculadora financeira, presume-se que o juro esteja correto desta vez. Certo?

O cálculo que o comerciante fez foi o seguinte:

f CLEAR FIN
6 n           (seis meses)
2400 PV       (valor à vista)
5 i           (taxa de juros mensal)
FV            (calcula valor futuro - resulta em 3216,23)
6 /           (divide por seis - resulta em 536,04)

E para "provar" que o cálculo está certo, o comerciante pode até fazer a mesma conta usando operações aritméticas, e o resultado vai bater:

2400 ENTER
1.05 x		(resultado: 2520)
1.05 x		(multiplica por 1.05 = 2646)
1.05 x		(2778.30)
1.05 x		(2917.22)
1.05 x		(3063.08)
1.05 x		(3216.23)
6 /             (divide por seis - resulta em 536,04)

Ou talvez o operador saiba até usar exponenciação na calculadora, para demonstrar que sabe mesmo matemática financeira:

2400 ENTER
1.05 ENTER
6  Yx 		(exponenciação, resulta em 1.34)
x		(1.34 x 2400 = 3216.23)
6 /             (divide por seis - resulta em 536,04)

A pegadinha dessa conta é a seguinte: R$ 3.216 é o valor que você estaria devendo daqui a seis meses se não pagasse um centavo até lá. Ou seja, os juros de 5% ao mês estão correndo sobre a totalidade do principal, que começa em R$ 2400.

Mas você está pagando uma parte desse valor todo mês (536,04), mesmo que não tenha pago nada à vista. Sobre o valor pago a cada mês, não pode correr mais juros. Como as prestações embutem, cada uma, juros de seis meses, é certo que a taxa real de juros é bem maior que 5%. Vamos descobrir qual é, usando a HP-12C do jeito certo:

f CLEAR FIN
g END           (primeiro pagamento não é à vista)
2400 PV         (valor à vista)
536 CHS PMT     (prestação proposta pelo comerciante)
6 n             (número de prestações)
i i		(calcula juro: 9,06% ao mês)

O resultado é novamente assustador: mais de 9% ao mês! enquanto a taxa alegada era metade disso (5%). Se o comerciante fosse honesto, calcularia a prestação da seguinte maneira:

f CLEAR FIN
g END
2400 PV
5 i            (taxa de juros: 5% ao mês)
6 n
PMT PMT	       (prestação: R$ 472,84)

A prestação "justa" (se é que juro de 5% ao mês pode ser considerado justo) seria de R$ 473, que é 63 reais menor que 536. Dá para pagar a energia elétrica que o ar-condicionado consome, só com essa diferença.

Se você confrontar o comerciante com essa conta, ele talvez diga o seguinte: ah, mas quando você paga a prestação, eu não consigo reinvestir esse dinheiro imediatamente, ele fica parado no caixa por um tempo (talvez mais clientes optem por pagar à vista naquele período). Conforme mais e mais dinheiro fica parado, o rendimento sobre o total de crediário movimentado realmente cai abaixo de 5% ao mês.

De fato, o comerciante pode multiplicar os R$ 2.400 iniciais e obter R$ 3.216.23 ao final de seis meses, e sem enganar ninguém. Mas ele não pode ser preguiçoso: o valor da prestação recebida (R$ 473) deve ser imediatamente reaplicado em outros crediários. E como o comerciante faz isso? Comprando mais produtos, e revendendo-os a prazo. Por outro lado, tentando cobrar uma prestação de R$ 536, o comerciante está jogando o "risco" de redução das vendas para cima do pobre cliente que não tem nada com isso.

Para provar que é possível ganhar 5% ao mês honestamente, vamos pegar cada recebimento de prestação, e calcular o valor futuro, assumindo que ela foi reaplicada a 5% ao mês, ou seja, o comerciante pega a prestação, compra algo imediatamente e revende a prazo, novamente com juros de 5% ao mês.

f CLEAR FIN
473 CHS PV            (valor aproximado da prestação "justa"
                       recebida no primeiro mês)
5 n                   (mais cinco meses para totalizar seis meses)
5 i                   (juros de 5% ao mês)
PV                    (resultado: R$ 603,68)

Ou seja, o valor de R$ 473 pago ao final do primeiro mês, se corretamente reaplicado nos meses seguintes, atinge R$ 604 no sexto mês. Fazendo uma conta semelhante para cada uma das demais prestações, encontramos os valores de R$ 575, 548, 521, 497 e 473 (não corre juro algum sobre a última prestação porque ela é paga ao final de seis meses, e estamos tentando justamente descobrir quanto o comerciante terá ao final desse período).

A soma desses valores é R$ 3.218, materialmente o mesmo que R$ 3.216 (a diferença ficou por conta dos arredondamentos). Ou seja, a forma "correta" de calcular prestações é justa tanto para o cliente quanto para o comerciante, mas ela implica em que o comerciante reinvista o dinheiro.

Podemos ainda enxergar a questão de outra forma. Suponha que o comerciante alegue, em desespero de causa, que ele normalmente não vende a prazo e está abrindo uma exceção para você. E como esse dinheiro não será reaplicado em outros crediários, ele insiste que você pague 5% ao mês sobre todo o principal por 6 meses. Seria este um argumento válido?

Não, não é válido. Porque os juros remuneram dinheiro em risco. Juros não remuneram dinheiro trancado num cofre! Vamos analisar, mês a mês, quanto dinheiro o comerciante arriscou vendendo a prazo:

Assim, vemos que a prestação "justa" de R$ 473 efetivamente remunera o capital em risco do comerciante com juros de 5% ao mês. Obviamente, não remunera o capital "em segurança", que já foi pago.

Anedota 03: CET e juros anuais

Depois que as pessoas começaram a se ligar em taxas de juros reais, e algumas até pediam para um parente ou amigo conferir a taxa, os truques das Anedotas 01 e 02 ficaram mais difíceis de aplicar.

Aí apareceu um outro truque: a taxa. Ou melhor, as taxas. Taxa de abertura de crédito. Taxa de avaliação de crédito. Taxa de abertura de cadastro. Um monte de atividades intrínsecas ao processo de concessão de crédito, que deveriam ser remuneradas pela taxa de juros e só por ela, começaram a ser cobradas por fora.

O governo entra de sócio nessa safadeza, cobrando um IOF bastante significativo sobre operações de crédito. Com o detalhe que o IOF é cobrado sobre o valor total, não sobre os juros. Mas esse pelo menos vem discriminado na sua conta. Você sabe quando está pagando de imposto e pode, com base nisso, votar melhor na próxima eleição.

Outra variante da safadeza é informar uma taxa de juros "real", às vezes até "zero", mas ela é uma taxa em cima de outra, tipo TR ou outra qualquer. A justificativa é que TR é a "taxa de inflação" mas na verdade a TR embute, ou deveria embutir, algum juro real.

Como a safadeza estava demaaaais, o Banco Central resolveu disciplinar a putaria, obrigando os bancos e financeiras a informar o CET - Custo Efetivo Total. Nome complicado para algo muito simples: a taxa de juros real que você está pagando.

Para calcular a CET, sempre use a sua calculadora e baseie-se no valor real das prestações pagas. Qualquer outro valor tem o potencial de ser falso, mesmo o CET informado no site, porque ele exclui o IOF.

Outra informação que os bancos e financeiras têm sido obrigados a fornecer, é o "CET anual", ou seja, a taxa de juros anual. Qual a utilidade dela?

Se você pretende ficar no cheque especial apenas alguns dias ou pagar o mínimo da fatura do cartão por apenas um mês, para fazer frente a uma emergência, a taxa anual não é importante, porém a taxa anual é a que se deve levar em conta para crediário, crédito pessoal, enfim, qualquer forma de crédito ou empréstimo que você vá levar meses ou anos para quitar. Até porque o CET anual é a taxa que você vai comparar contra opções tipo poupança ou aplicação financeira, cujas taxas (baixas) são sempre fornecidas em % ao ano, justamente para dar uma "animada" no investidor.

Eu quero crer que a maioria das pessoas já sabe que já tenha aprendido que as taxas de juros mensais acumulam bem depressa. Por exemplo, 10% ao mês equivalem a 213% ao ano, devido ao efeito exponencial dos juros compostos. Uma dívida que começa em 100, vira 110 no mês seguinte, 121 no próximo, 133 no outro, 146, 161, 177, 195, 214, 236, 259, 285, e finalmente 313, que é composto de 100 reais de principal mais 213 de juros acumulados.

Por um tempo cheguei a achar que taxas absurdas como 10% ao mês fossem um legado dos anos 1990, algo que contaríamos aos netos e eles duvidariam, achariam que é história de velho. Mas essas taxas ainda estão entre nós, principalmente no cheque especial e rolagem da fatura de cartão de crédito.

Dificilmente um devedor fica exposto ao poder exponencial da taxa anual porque o próprio credor "força" o pagamento periódico dos juros. O pagamento mínimo mensal para rolar o cartão embute os juros. Se assim não fosse, a dívida ficaria impagável em pouco tempo: em 2 anos a divida multiplicaria por 10, em 3 anos ela multiplicaria por 30.

Nesse ponto seria mais fácil ao devedor pedir falência. E uma dívida composta praticamente toda de juros é um alvo bem grande para um recurso judicial.

Aliás, esta é uma discussão bem interessante: a Constituição brasileira original prescrevia juros reais máximos de 12% ao ano, além de proibir a cobrança de juros sobre juros — que é o mecanismo que torna a taxa CET anual tão alta. Ambas as limitações foram removidas (a primeira por emenda constitucional, a segunda por decisão do STF), porém elas vigoraram durante um bom tempo e embasaram inúmeras ações de revisão de dívida, inclusive durante a época em que eu cursava Direito. Quatro professores emitiram opinião sobre o tema: foram quatro opiniões diferentes!

Seja como for, forçar o devedor a pagar periodicamente os juros evita dar margem a discussões desse tipo na Justiça.

Anedota 04: Anúncio de veículo novo num ponto de ônibus

Vamos interpretar um anúncio encontrado num ponto de ônibus pelo amigo LVR, e checar se as informações batem umas com as outras:

Primeiro, vamos notar os truques de marketing (alguém ainda cai nisso?):

Aliás, meus dois últimos automóveis foram japoneses e um motivo importante foi que o preço dado pelo vendedor era a) redondo; e b) igual ao anunciado pelos meios de comunicação. Os valores de prestações, taxa de juros, etc. era o carinha do banco que fornecia diretamente da tela do sistema dele. Sem enrolação, era pegar ou largar.

Nesse ponto o Itaú também é um banco "honesto", o valor de cada prestação muda diariamente, e atinge o valor máximo apenas no dia do vencimento. Se eu escolher pagar todas as prestações do carro hoje, pagarei o valor presente e nem um centavo a mais (sim, eu conferi). Por outro lado, se eu atrasar a prestação uns poucos dias, ela continua subindo de acordo com a mesma taxa (a multa só é cobrada depois de muitos dias de atraso) e a pendência desaparece assim que eu pagá-la com o valor atualizado, sem ter de falar com ninguém.

Agora vamos verificar se os valores batem com as taxas. Usando a calculadora financeira:

f CLEAR FIN
f END
39999 ENTER 26193.45 -
# mostra o valor a financiar: 13.805,55
PV 
395 CHS PMT
48 n
i i
# mostra 1.38, que corresponde a 1,38% ao mês

Ao menos a taxa CET (CET = Custo Efetivo Total) anunciada bate com o valor calculado – 1,38% ao mês, que é uma taxa razoavelmente boa e dentro do praticado pelo mercado em 2016. Embora o certo seja sempre considerar a taxa anual, porque permite uma comparação direta com investimentos tipo poupança ou renda fixa que sempre reportam o rendimento em % ao ano.

Usando a regra de juros compostos, a taxa CET anual é (1+0.0138)12-1, o que dá 17,88% ao ano, também em conformidade com o anúncio. Então pelo menos os dados das taxas de juros CET estão corretos, embora lamentavelmente sejam colocados em letras miúdas e só estão no anúncio por força de lei, porque o costume geral anterior era mentir.

Confuso com a transformação de taxa mensal para anual? Podemos fazer essa conversão de forma mais didática — aliás, era assim que meu "mestre Sith" convertia taxas, ele não usava a fórmula. Basicamente, ele simulava o que acontecia com 100 reais ao longo de 12 meses, dada uma taxa mensal:

f CLEAR FIN
g END
100 PV      # 100 reais hoje
12 n        # 12 meses
1.38 i      # taxa de juros mensal
PV PV       # resultado é -117.88

Ora, se 100 reais viraram 117.88 em 12 meses, a taxa anual tem de ser 17,88% ao ano. É uma forma "burra", porém sábia, de transformar a taxa usando exclusivamente os registradores financeiros da HP-12C, sem precisar decorar uma fórmula sequer.

"Ora", talvez diga você, "mas eu ouvi falar que a taxa anual é simplesmente a taxa mensal multiplicada por 12!". Na verdade isso é metade aproximação e metade enganação. No mundo financeiro é aceita a prática de propaganedar uma "taxa nominal" anual, digamos, 12% ao ano, mas que será capitalizada mensalmente (1% ao mês). Se fizermos qualquer das contas acima, descobriremos que a taxa efetiva nesse caso seria 12,7% ao ano, não 12%.

A taxa nominal é uma enganação, mas podemos dizer que para taxas de juros "civilizadas", entre 0% e 12% ao ano, a diferença entre juro simples (multiplicar por 12) e composto (usando potenciação) é muito pequena. Por outro lado, para taxas mais altas que isso (infelizmente ainda comuns no Brasil) a diferença aumenta muito rapidamente e é recomendável fazer sempre a conversão usando juros compostos.

A propósito, como fazer a conversão inversa (de juro anual para mensal) usando apenas os registradores da HP? Digamos, dada uma taxa de 30% ao ano, encontrar a taxa efetiva mensal:

f CLEAR FIN
g END
12 n             # 12 meses
100 PV           # valor presente é 100
130 CHS FV       # valor futuro de 100 a 30% ao ano é 130
i i              # retorna 2,21% ao mês

Voltando à análise do anúncio. As outras taxas de juros (1,07% ao mês e 13,62% ao ano) são completamente arbitrárias e não têm qualquer relação com os valores do anúncio. Poder-se-ia anunciar como "taxa zero" e continuaria sendo uma mentira do mesmo tamanho. Realmente não interessa ao cliente que parte do encargo do financiamento é juro e que parte é "taxa de abertura de cadastro" ou "comissão fubar" ou IOF ou qualquer outra coisa. Só interessa o valor final. Se o anúncio pretendia sugerir ao cliente que parte do custo da dívida deve-se a impostos, definitivamente não atingiu o objetivo.

Por último, essa taxa efetiva de 1,38% ao mês é "boa" ou "ruim"?

Em primeiro lugar, precisamos avaliar a tal da inflação. A inflação no Brasil é sempre uma ameaça; quando um banco faz um financiamento de vários anos de duração, embute uma expectativa de inflação mais o risco do dragãozinho despertar.

Quem fez um financiamento de longo prazo por volta de 2011, 2012 pode ter se dado muito bem porque a inflação acelerou muito até 2015. A taxa de juros ao consumidor é sempre mais alta do que poderia ser por conta desse tipo de risco; porque o governo e a política estão cheios de gente que não querem cortar despesas e nem querem repetir a velha fórmula do calote, então o que resta é imprimir dinheiro... (Deixei o texto deslizar para a política, desculpem aí.)

Bem, neste momento (novembro de 2016) a inflação ainda está em torno de 7% ao ano. Considerando que o juro CET do financiamento de exemplo era 17,88% ao ano, o juro real descontada a inflação é de mais ou menos 10% ao ano. (Nesse ponto não adianta mais ficar calculando decimais porque a própria inflação oficial é uma estimativa.)

Muito bem, 10% ao ano é muito ou pouco? Comparado ao resto do mundo civilizado ainda é muito; nos EUA o juro automotivo é 4% ao ano.

Esse tipo de empréstimo é muito seguro para o banco, porque o carro é alienado (pertence ao banco até a quitação de todo o empréstimo) e geralmente o comprador precisa dar uma boa entrada (20% no mínimo absoluto). Note que essa entrada paga antecipadamente um bem que pertence 100% ao banco! Em caso de inadimplência, o carro vai para leilão e o "dono" só recebe o saldo depois da quitação, e como os carros tendem a sair barato no leilão, esse saldo tende a ser zero ou mesmo negativo (o "dono" continua devendo).

A exigência de entrada cria dois incentivos para o "dono" do carro: pagar as prestações em dia (do contrário ele perde até a entrada) e fazer seguro total do carro (e/ou dirigí-lo com cuidado) porque em caso de roubo ou perda total o "dono" perde o que investiu na entrada (e fica com a dívida, mas se tivesse dado 0% de entrada, poderia escolher dar o calote). A propósito, em caso de sinistro, o seguro primeiro paga o banco e só depois entrega o saldo ao "dono" (pegar o dinheiro do seguro e fugir não é uma opção).

Dito tudo isso, uma taxa de 10% ao ano é realmente alta para um empréstimo com chance muito baixa de perda. Empréstimos onde a garantia não é tão sólida têm taxas bem maiores, aqui no Brasil e lá fora. Por exemplo, o rotativo do cartão de crédito cobra 16% ao ano nos EUA (que lá é considerado um absurdo); no Brasil deve estar em torno de 10% ao mês!

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