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Gráficos de operações com opções

Artigo publicado no site Bússola do Investidor em 2009.

Em praticamente todo livro ou artigo sobre opções, aparece um gráfico sem graça parecido com este:

Figura 1: Típico gráfico de payoff de uma opção de compra no vencimento

A linha vermelha do gráfico acima representa o valor de uma opção de compra (no caso, PETRA40) em função do "spot" — valor do ativo subjacente (no caso, a ação PETR4) no dia do vencimento. Despreze as demais "firulas" do gráfico por ora, que voltaremos a elas nos próximos exemplos.

Se, por exemplo, PETR4 estiver cotada a R$ 40,00 nesse dia, a opção PETRA40 valerá R$ 0,42, pois PETRA40 me dá o direito de comprar a ação (que vale 40) por apenas R$ 39,58. A "mira" do mouse, representada pelas linhas roxas, está exatamente sobre este ponto no gráfico.

Este gráfico ilustra corretamente o que acontece com a opção no vencimento, mas não nos diz nada sobre o valor da opção antes disso. Além disso, por ser um caso-limite, ele não ajuda muito na hora de tentar explicar as "gregas" de uma opção.

O gráfico a seguir não é tão facilmente encontrárvel, mas é muito mais ilustrativo:

Figura 2: Gráfico do valor de opção de compra para diversos momentos da sua vida

Nesta nova versão, a linha vermelha ainda está lá e continua significando a mesma coisa: valor no dia do vencimento. As demais linhas representam o valor da opção em momentos anteriores. Por exemplo, a linha azul escuro representa o valor teórico da opção 47 dias antes do vencimento (a opção PETRA40 vence apenas em meados de Janeiro/2010).

A "mira" do mouse está sobre a coluna (eixo x) R$ 40.99, ou seja, valor spot de PETR4 em 40.99. Se PETR4 permanecesse "congelada" neste patamar até o vencimento da opção, ainda assim o valor da opção mudaria (mais precisamente, cairia) tão-somente pela ação do tempo.

Uma outra forma de representar esta oscilação do valor da opção em função de duas variáveis — spot e prazo até vencimento — seria um gráfico tridimensional. O resultado visual seria impressionante, só não sei se seria útil. Algo a ser tentado nas férias :)

A ferramenta que gera estes gráficos de exemplo (ainda em desenvolvimento) coloca alguns elementos adicionais para auxiliar na interpretação. A "mira" do mouse (linhas roxas) que relaciona o "spot" com os valores das opções em cada prazo, que já foi apresentada.

Uma linha preta vertical, no centro do gráfico, representa o "spot" atual da ação. Quando estes gráficos foram fotografados, PETR4 tinha fechado em aproximadamente R$ 39,80. O comprimento vertical desta mesma linha indica os valores mínimos e máximos das opções, no intervalo plotado.

Uma curva cinza-claro que atravessa o gráfico em diagonal corresponde à probabilidade de uma opção ser exercida. Note que os valores do eixo y dessa curva estão à direita do gráfico, e vão de 0% a 100%. Esta curva é meio difícil de interpretar se não se está acostumado; vou tentar dar um exemplo.

Com a "mira" do mouse em R$ 40.99, a probabilidade correspondente é 35.63%, o que se pode deduzir tanto olhando no eixo y da direita, quanto na legenda de cores. Isto significa que, considerando o mercado neste exato momento (PETR4 = 39.80, volatilidade em 30.5%), e considerando uma opção de compra hipotética com strike = 40.99 cujo vencimento é no mesmo dia que PETRA40, tal opção hipotética teria 35.63% de chance de ser exercida.

Delta: inclinação (declividade) da curva

Figura 3: Declividade das linhas do gráfico

Na Figura 2, é mais fácil entrever algumas "gregas" da opção. Por exemplo, delta pode ser interpretado graficamente como a inclinação de uma curva, em determinado ponto.

A curva vermelha é o caso extremo, do dia do vencimento. A inclinação desta curva é rigorosamente zero até R$ 39,58, e bruscamente aponta para cima dali por diante. No segundo trecho, a inclinação da curva vermelha é considerada como +100% ou +1.0, pois para cada R$ 1,00 que avançamos no eixo x, o valor da opção também sobe R$ 1,00. Este é um caso extremo; a inclinação nunca será mais forte que isso.

Figura 4: Deltas para spot em torno de 39,50
Figura 5: Deltas para spot em torno de 42

Nas demais curvas, que mostram o que acontece com a opção em dias anteriores ao vencimento, vemos que a inclinação da curva, ou seja, o delta, não muda assim tão bruscamente. Conforme a opção passa de OTM para ITM, a inclinação sobe, porém suavemente.

Olhando cada curva de cima para baixo, numa coluna mais à esquerda (trecho em que a opção está OTM), vemos que o delta vai diminuido conforme aproxima-se o vencimento, até zerar.

Por outro lado, na parte direita do gráfico o delta tende a 100% conforme avizinha-se o vencimento.

Naturalmente, o delta é uma medida de instabilidade do valor da opção. Delta alto (perto de +100% ou -100%) faz com que a opção oscile fortemente quando o "spot" da ação se desloca.

Muito genericamente, podemos dizer que delta alto significa risco alto, e uma faixa de mercado que o investidor normalmente não deseja estar. Isto fica mais fácil de ver se traçarmos um gráfico de uma operação composta de duas opções:

Figura 6: Trava de baixa (credit spread)

O gráfico acima representa o valor total de uma operação trava de baixa (credit spread). Podemos constatar visualmente que nesta operação o delta é baixo nos dois extremos, sendo que o extremo da direita é uma área indesejável, de modo que a única área "confortável" é a parte mais à esquerda do gráfico.

A parte central do gráfico, onde o delta é o mais alto para toda curva, e vai ficando cada vez mais alto conforme aproxima-se o vencimento, é onde o investidor teme ficar, pois qualquer movimentozinho em PETR4 pode jogar a operação na região de prejuízo máximo...

O que deve ficar muito claro, e espero que os gráficos tenham evidenciado muito bem, é que o delta de uma opção não é uma constante; ele varia o tempo todo, pois o tempo passa e o valor das ações oscila continuamente.

Gamma: concavidade da curva

Graficamente, o gamma é a concavidade da curva plotada no gráfico, ou seja, sua tendência de parecer uma bacia ou gamela, em vez de uma monótona linha reta.

A concavidade mostra a velocidade de mudança do delta. Quanto mais côncavo um pedaço da curva, mais rápido a inclinação dela muda, e portanto mais rápido muda o delta. Para os que gostam de matemática, gamma é a derivada segunda do valor da opção em função do spot (delta é a derivada primeira).

Como delta não pode ser mais íngreme que +100% ou -100%, a concavidade das nossas curvas também sofre restrições. Vamos ver um outro exemplo de gráfico, desta vez uma venda coberta, onde os gammas são negativos:

Figura 7: Venda coberta

A ferramenta usa um "falsa opção" (PETRZ00), que obviamente não existe, para representar a ação PETR4. As concavidades apontam para baixo, portanto os gammas são negativos. Isto acontece nesta operação porque estamos vendendo uma opção, e não comprando. A presença da ação adiciona um componente meramente linear ao gráfico, que não afeta a curvatura.

Neste gráfico, observamos que a linha azul tem uma concavidade pequena porém distribuída ao longo de todo o seu comprimento, o que equivale dizer que o gamma da opção a 47 dias do vencimento é estável ao longo da faixa R$ 36.00-43.00 do mercado.

Conforme olhamos para as curvas mais próximas ao vencimento, a concavidade delas vai concentrando-se cada vez mais ao redor de R$ 39,50 (eixo x), até chegar na curva vermelha que é a situação extrema: não há concavidade nenhuma exceto no "joelho" de inflexão.

A concavidade não precisa ser apenas para cima ou para baixo. No gráfico da trava de baixa, podemos ver que cada curva tem concavidade para baixo (gamma negativo) no lado esquerdo e concavidade para cima no lado direito (gamma positivo).

Genericamente falando, o gamma também é uma medida de risco. Quanto maior o gamma, mais rápido a situação vai se deteriorar se o mercado andar na direção indesejada. Uma mesma operação pode ser segura longe do vencimento e perigosa perto dele, todos os outros parâmetros mantidos iguais.

Alguns textos mencionam a grega speed (derivada terceira) que mede a taxa de variação de gamma. Graficamente falando, "speed" mede a velocidade de mudança de curvatura, daí o nome.

Theta: decaimento no tempo

Revendo o gráfico da opção PETRA40 isolada, e tomando uma coluna na parte esquerda (correspondente à área OTM da opção), podemos ver facilmente que o valor da opção vai caindo conforme chega o vencimento, finalmente chegando a zero na curva vermelha.

Figura 8: Theta entrevisto pela distância das linhas

A distância entre as curvas no sentido vertical evidencia o theta. Quanto maior a separação entre as curvas, maior o theta.

O theta não é linear; ele torna-se cada vez mais fortemente negativo conforme avizinha-se o vencimento.

Por conta disto, a ferramenta que traça os gráficos cria uma série "exponencial" de prazos — algo como 30 dias, 15 dias, 7, 3, 1 e finalmente o vencimento (0 dias). Isto é feito puramente por razões estéticas, para que o espaçamento das curvas seja mais ou menos uniforme.

Se tivéssemos adotado uma série "aritmética" de prazos, como por exemplo 30 dias, 21, 14, 7 e 0, as primeiras curvas tenderiam a se amontoar, pois o theta é relativamente pequeno a 30 dias do vencimento, e a opção não desvaloriza tão rápido na semana 30-até-21.

A "fatia" de gráfico que coloquei à esquerda foi tirada da Figura 2, que mostra uma opção de compra isolada, cujo theta é sempre negativo. Mas nada impede que uma operação tenha theta zero ou positivo. No gráfico da venda coberta, vemos que a curva azul está abaixo da vermelha. Isto significa que, na venda coberta, theta é positivo e o tempo trabalha a nosso favor. Conforme aproxima-se o vencimento, a carteira ação mais opção vendida vai ganhando valor.

No gráfico da trava de baixa, theta pode ser positivo ou negativo, depende de como está o mercado. Theta trabalha a nosso favor com PETR4 abaixo de R$ 39,50; e trabalha contra nós acima desse patamar.

Uma coisa que o gráfico não mostra é que o theta em relação ao prêmio da opção torna-se muito forte para opções de baixo valor. Por exemplo, uma opção que vale R$ 0,02 talvez tenha um theta de apenas -0.01/dia; mas este theta representa uma perda de 50% do valor original por dia.

Vega e Rho

Infelizmente, não podemos enxergar estas duas gregas nos gráficos mostrados, pois elas medem a variação do prêmio em função da volatilidade e da taxa de juros, respectivamente, e estamos assumindo ambas grandezas como fixas. (Um gráfico 3D poderia ser a solução.)

Operacional

O gráfico da Figura 1 mostra apenas o que acontece com uma operação se levada até o vencimento, mas não nos diz quanto custa montar a operação em primeiro lugar, ou quanto receberíamos de volta se desmontássemos a operação antes do prazo fatal. É este o motivo pelo qual eu não gosto dele, considero este gráfico um tanto ilusório.

Na compra de opção de compra (Figura 2) e venda coberta (Figura 7), os valores do eixo y à esquerda são positivos. Isto quer dizer que uma carteira composta de uma operação assim tem valor positivo: custa dinheiro para montar, e devolve dinheiro quando desmontamos.

Uma operação "positiva" é vencedora quando compra barato e vende caro. A opção de compra depende do "spot" subir para seu valor subir. Já a venda coberta depende do "spot" não cair muito. Note que a carteira da venda coberta tem valor positivo mas concavidade (gamma) negativa.

Já a trava de baixa (Figura 6) tem valores negativos no eixo y do lado esquerdo. Isto quer dizer que esta operação rende dinheiro quando é montada, mas precisamos pagar para desmontá-la. Uma trava de baixa presente em sua carteira representa uma dívida. A operação "negativa" também vence quando compra barato e vende caro, porém a venda ocorre antes da recompra.

Vejamos um exemplo (hipotético) de venda coberta onde o "spot" foi oscilando até o vencimento, e a operação acabou sendo vencedora:

Figura 9: Venda coberta com o caminho do spot

Como a operação foi levada até o vencimento, acabou vencedora. Mas se fosse liquidada 17 dias antes do vencimento (curva azul-claro), com o spot na mínima do período, talvez por obra de um stop-loss, fecharíamos com um pequeno prejuízo.

Mais um exemplo, desta vez com a venda coberta:

Figura 10: Trava de baixa com dois caminhos de spot

Este gráfico mostra dois caminhos hipotéticos, um vencedor (azul) e outro perdedor (rosa). O caminho azul, muito improvável de acontecer na realidade, mostra um mercado extremamente estável, oscilando muito pouco durante 47 dias. O caminho rosa mostra uma subida forte que depois recuou um pouco — recuo insuficiente para compensar o efeito do tempo que fez aumentar nosso prejuízo. Teria sido melhor encerrar antecipadamente.