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Cálculo de margem em operações de opções

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Quando se vende opções (ou ações) a descoberto, a corretora retém uma certa quantidade de dinheiro, denominada margem inicial, ou "corte de cabelo" (haircut) na gíria inglesa. Na medida em que o mercado movimenta-se contra você, ainda mais dinheiro vai sendo retido -- é a margem de variação. Ao menos parte dessa margem de variação é devolvida quando o mercado movimenta-se a seu favor.

Algumas coisas me deixavam curioso a respeito dessa mecânica:

1) Para que serve afinal a margem? Certamente não é para garantir (totalmente) a opção vendida, já que o valor necessário para isso seria muito maior.

2) De onde eles tiram os valores de margem?

3) Por que ela é recalculada diariamente?

A margem serve para efetivamente garantir o compromisso assumido pelo operador, mesmo que o mercado movimente-se muito desfavoravelmente, de modo que a Bolsa consiga honrar o compromisso ainda que o operador quebre.

O "pulo do gato" é que a margem é calculada para cobrir DOIS DIAS do "pior caso" do mercado. Isto, combinado com o recálculo diário da margem, fornece um mecanismo de segurança muito engenhoso, dando à Bolsa um dia de tempo extra para liquidar preemptivamente a posição do operador quebrado, sendo que a margem inicial é provavelmente suficiente para cobrir a perda.

Exemplo:

a) Dia 1: Operador deposita margem que (provavelmente) cobre a perda máxima possível nos dias 2 e 3

b) Dia 2: Mercado movimenta-se muito desfavoravelmente

c) Dia 2: Bolsa recalcula nova margem, e faz chamada de margem de variação

d) Dia 2: Operador não tem dinheiro para cobrir a margem nova

e) Dia 3: Bolsa liquida preemptivamente a operação, com mercado ainda movimentando-se desfavoravelmente

f) Dia 3: Dinheiro da margem foi suficiente para cobrir perdas dos dias 2 e 3 e (provavelmente) ainda sobrou um troco, que é devolvido ao operador

Falta determinar como esse "pior caso" do mercado é calculado. Infelizmente, a fórmula exata desse cálculo é uma "caixa-preta" particular de cada Bolsa. Como geralmente as Bolsas compram softwares para realizar essa tarefa, as fórmulas e algoritmos são um segredo guardado a sete chaves.

Mas isto não impede que aproximemos o cálculo da margem usando estatística, e traçando um paralelo com o controle de estoque de um supermercado.

Por exemplo, qual é o estoque de latas de Leite-Moça que um supermercado deveria manter?

Idealmente, seria um estoque muito, muito grande -- pois Leite-Moça não estraga rápido, e sempre vende. Mas manter estoques é dinheiro parado, e isto tem um custo. Assim, precisamos otimizar nosso estoque de modo que

a) nunca falte Leite-Moça na prateleira;

b) não precisemos manter um estoque excessivamente grande.

A verdade é que não podemos garantir o item A em 100% dos casos. Sempre pode acontecer que dê a louca no mundo, e a cidade inteira queira comprar Leite-Moça amanhã, no seu supermercado. Ou pode haver uma ameaça de guerra nuclear que aumente muito a procura por enlatados. O único jeito de garantir o atendimento ao cliente seria ter um estoque infinito, o que não é praticável.

Assim, vamos nos contentar em garantir que o Leite-Moça esteja disponível por 99% do tempo na prateleira. As estatísticas de venda do Leite-Moça são as seguintes:

* Média diária: 50 latas

* Desvio padrão: 10 latas

Assumindo uma distribuição normal das vendas, podemos afirmar então que:

* em 67% dos dias, a venda fica entre 40 e 60 latas (sigma-1)

* em 95% dos dias, a venda fica entre 30 e 70 latas (sigma-2)

* em 99,4% dos dias, a venda fica entre 20 e 80 latas (sigma-3)

Assim, se nosso estoque for de 80 latas no início de cada dia, podemos garantir que o último cliente do dia encontrará o produto na prateleira em 99,4% das vezes, o que é bastante bom.

Como a letra grega sigma é utilizada em fórmulas para denotar o desvio-padrão, os estatísticos gostam de falar em "eventos sigma-N" onde N é o número de desvios-padrões que o evento está distante da média. Assim, a venda de 90 latas de Leite-Moça num único dia seria um "evento sigma-4".

Quanto mais sigmas, mais improvável é o evento. Um evento "sigma-10", como por exemplo vender 150 latas de Leite-Moça num único dia, aconteceria apenas uma vez a cada vários bilhões de anos. (Na prática, acontece um pouco mais freqüentemente que isso. A fé cega em distribuição normal quebra a Bolsa pelo menos uma vez a cada década.)

Um problema do cálculo baseado em venda diária é que a Nestlé não entrega todo dia. Supondo que se possa fazer um pedido por mês, o estoque também precisa cobrir um mês. Recalculando a média e o desvio-padrão para um mês:

* Média mensal = 50 x 30 = 1500 latas

* Desvio-padrão mensal = 10 x (raiz quadrada de 30) = 55 latas

Note que o desvio-padrão fica proporcionalmente menor que a média quando escalamos para um período maior. Isto acontece porque dias com vendas maiores serão parcialmente cancelados por dias com vendas fracas.

(Novamente, isto é o comportamento da distribuição normal teórica, e não pode ser considerada 100% certeira. Estamos presumindo que as vendas de um dia sejam completamente independentes das vendas do próximo dia, o que nem sempre é verdade. No caso de ameaça de guerra nuclear, os enlatados continuariam venderiam bem por semanas ou meses a fio.)

Agora, para atender um mês de demanda com 99,4% de certeza, eu preciso de 1500 + 55*3 = 1665 latas no estoque. Comprando 1665 latas ao invés de 1500, conseguimos uma garantia muito alta de atendimento ao cliente com relativamente pouco gasto adicional. E só precisamos fazer isto uma vez; no próximo mês, basta repor a quantidade vendida.

Agora, eu posso usar esse mesmo raciocínio para calcular a margem inicial de uma opção. A margem é o "estoque" que garante a Bolsa contra a "demanda" variável do mercado.

Suponha uma opção com strike = 100, delta = 0.5, ATM, e uma volatilidade de 50% ao ano. A primeira coisa é obter a volatilidade para apenas dois dias. 50 / (raiz de (365/2)) = 3.7%. Esta volatilidade corresponde a um desvio-padrão, ou seja, 67% de chance da variação ficar entre -3.7% e +3.7%, segundo uma distribuição normal.

Se quisermos calcular a margem com 99,4% de certeza que ela vai cobrir dois dias de mercado desfavorável -- ou seja, proteger a Bolsa de eventos sigma-3 -- precisamos multiplicar a volatilidade por 3, o que dá 11.1%.

Muito bem. Se o preço da ação subir para $111 ($100 + 11.1%), o valor da opção aumentará em $5.55, segundo um delta de 0.5. (Numa subida tão grande o delta também mudaria, mas vamos manter o exemplo simples.)

Como o operador vendeu a opção, um aumento de $5.55 no valor da opção significa uma PERDA de $5.55, logo esta deve ser a margem cobrada do operador para que a Bolsa estaja garantida contra 2 dias de movimentação extremamente desfavorável.

Naturalmente, a margem não cobre 100% das catástrofes; se a bolsa subir 50% em dois dias (evento sigma-13), a margem não seria suficiente. Como a margem teria de ser infinita para garantir 100% das situações, ou proibitivamente alta para atingir algo bem próximo de 100% (e aí ninguém lançaria opções, acabando com o mercado) é preciso aceitar uma solução de compromisso entre segurança e viabilidade.

Podemos estabelecer uma relação simples entre volatilidade e margem cobrada, que aproxima bem as margens cobradas na Bolsa:

margem = (valor da ação) * (delta da opção) * (volatilidade anual) * (sigmas) / 13.51

Considerando uma opção do dia de hoje: VALEB28, com delta de 0.529, volatilidade implícita de 56.5% ao ano, e VALE5 valendo R$ 27,83. Supondo que a Bolsa proteja-se de eventos até sigma-3, a margem inicial para venda desta opção seria:

27.83 * 0.529 * 0.565 * 3 / 13.51 = R$ 1,84.

Naturalmente, o valor real da margem inicial pode e vai ser diferente deste na Bolsa, em função dos seguintes fatores:

a) uso de uma volatilidade diferente (a volatilidade histórica da Vale está bem maior que 55%, o que aumentaria o valor da margem);

b) uso de um sigma maior, para proteger a Bolsa ainda mais eficazmente de movimentos bruscos do mercado;

c) levar em consideração que o delta também subiria se o mercado subisse, aumentando o valor da opção mais rapidamente que o previsto acima;

d) uso de modelos estatísticos diferentes, por exemplo levando em conta que eventos considerados "impossíveis" na distribuição normal são na verdade comuns nas Bolsas, como quedas e subidas muito grandes num único dia;

e) outras considerações extra-estatísticas, como o patrimônio do investidor em outros papéis, liquidez do papel vendido a descoberto, etc.

Exemplo real

Fiz uma operação real para descobrir quando pedem de margem para um lançamento não coberto de opções.

Os dados são os seguintes: opção lancada VALEC30, vencimento 16/3, chamada de margem foi de R$ 6,25 por unidade. (Seu valor neste momento é de aproximadamente R$ 2, o que confirma regra grosseira de margem = 3 vezes valor da opção).

Agora, vamos descobrir com que intervalo de confiança a CBLC calcula a margem. No outro post, estimamos o cálculo de margem com a seguinte fórmula:

margem = (valor da ação) * (delta da opção) * (volatilidade anual) * (sigmas) / 13.51

Então, como VALE5 fechou em 29,70 ontem, e VALEC30 é aproximadamente ATM e a volatilidade histórica de VALE5 é 48,7%,

6,25 = 29,70 * 0,50 * 0.487 * sigmas / 13.51

sigmas = 5,879

O que significa que a margem vai ser suficiente para 2 dias de mercado desfavorável em mais de 99,9999% das vezes. Se existisse CBLC nos EUA, não teria havido crise de subprime :)

De acordo com a "desigualdade de Chebyshev", mesmo que a distribuição dos rendimentos de uma ação não seja normal (como de fato não é), ainda assim o o intervalo de confiança de 6 sigmas é de, no mínimo absoluto, 97%. A confiança "real" da nossa margem então fica em algum lugar entre 97% e 99,9999%.

A desigualdade de Chebyshev basicamente afirma que qualquer distribuição tem intervalos de confiança mínimos (75% para sigma-2, 89% para sigma-3 e assim por diante). Desde é claro que a distribuição em questão possua um desvio-padrão. Os intervalos de confiança de uma distribução normal são bem maiores do que estes mínimos.

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