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Um exemplo da importância do número de Euler

Um livro bastante interessante surgiu nas bancas. " e: a história de um número" . É relativamente fino, fácil de digerir para quem entende um mínimo de matemática, bastante divertido. Altamente recomendado.

A história do número e = 2.718281828... confunde-se com a história do cálculo integral e diferencial. Foi a tentativa de calcular a área de uma curva aparentemente simples ( y = 1÷x ) que inspirou Newton e Leibnitz a estudarem processos infinitos, e assim toparem com o cálculo e com o número "e" .

Muitos outros já haviam aproximado o valor de "e" antes (até os babilônios, em cálculos financeiros). Eu mesmo topei com o número "e" numa simulação financeira, mas nem eu nem os babilônios compreenderam a importância disso à época, pois não sabiam cálculo ;)

O número "e" tem inúmeras facetas. A que pretendo mostrar envolve algo relativamente simples - a função potência, ensinada no primário da seguinte forma:

10 4 = 10 × 10 × 10 × 10

Potência é, a princípio, uma forma compacta de expressar uma multiplicação repetida. Quando o expoente (no caso acima, 4) é inteiro positivo, esse modelo é suficiente. Também aprendemos no ensino fundamental algumas propriedades envolvendo potências de mesma base, todas facilmente provadas por indução:

10 4 × 10 2 = 10 (4+2) = 10 6

10 4 ÷ 10 2 = 10 (4-2) = 10 2

(10 4 ) 2 = 10 (4×2) = 10 8

Agora, seria admissível um expoente zero ou negativo? A definição primeira de potência não comporta essa idéia. Mas as propriedades das potências de mesma base justificam tais expoentes:

10 3 ÷ 10 3 = 10 (3-3) = 10 0 = 1

(pois 1000 ÷ 1000 = 1, então 10 0 deve ser 1)

10 2 ÷ 10 4 = 10 (-2) = 1 ÷ 10 2 = 0,01

(pois 10 ÷ 1.000 = 0,01, então 10 (-2) = 1 ÷ 10 2 )

Graças a esta equivalência, podemos expressar função recíproca y=1÷x na forma y=x -1 , mais elegante, pelo menos tipograficamente.

E um expoente não-inteiro? Vamos começar com o caso de um expoente na forma 1÷x . Esse tipo de fração tem um nome bonito, mas não lembro agora :) Que valor poderia sair de

8 (1÷3) ?

Usando um pouco a imaginação, poderíamos dizer que o resultado deveria ser "um terço" de oito, mas um "terço multiplicativo", de modo que

8 (1÷3) × 8 (1÷3) × 8 (1÷3) = 8

Ora, 2 × 2 × 2 = 8, então o "terço multiplicativo" é nada mais que a raiz cúbica de 8. Uma potência de 1÷2 seria a raiz quadrada, 1÷4 a raiz quarta, e assim por diante.

Essa nossa suposição parece ser verdadeira porque ela funciona em todas as situações estudadas antes (soma de potências de mesma base, potência negativa, etc.). Exemplo:

[10 (1÷2) ] 4 = 10 (4÷2) = 10 2 = 100

Se calcularmos a raiz quadrada de 10 usando aquele algoritmo manual, e elevarmos o resultado à quarta potência, chegamos a 100. Então, representar raízes como expoentes (1÷x) parece estar correto. Fizemos uma presunção no estilo "vai que dá" e aparentemente funcionou.

Se o expoente for um número racional na forma (x÷y), basta considerar que

a (x÷y) = "a" elevado a potencia "x", e em seguida extrai-se a "y"-ésima raiz

Há alguns testes que devemos fazer para ver se essas nossas "invenções" funcionaram mesmo. Um deles é o teste de "suavidade". A função suave não dá saltos, não tem buracos e guarda proporcionalidade entre parâmetro e resultado.

Outro teste é verificar se temos uma função monótona (só cresce ou só diminui) ou periódica. Vamos começar por este, que é mais fácil:

2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16

Ou, mais genericamente:

2 x+1 = 2 x 2 x
0,1 x+1 = 0,1 x 0,1 x

A função potência é claramente monótona: quando a base é maior que 1, o resultado é tão maior quanto maior fizermos "x", sem falhar. Se a base é um valor entre 0 e 1 (exclusive), o resultado só cai conforme "x" aumenta, sem falhar.

Agora vem um teorema interessante, o "teorema do sanduíche". Ele diz o seguinte:

Se x1 <= x2 <= x3, então
f(x2) tem de ficar entre f(x1) e f(x3)
se a função "f" é suave

Na prática: Se x1=1, x2=2 e x3=3, temos que 2 1 =2 e 2 3 =8, então o resultado de 2 2 tem de ficar entre 2 e 8 (e fica mesmo: o resultado é 4).

Só podemos considerar as potências negativas, fracionárias e racionais como "válidas" se elas passarem no teste do sanduíche. Testando com expoentes entre 2 e 3:

2 2 = 4 (limite inferior)
2 3 = 8 (limite superior)

2 2,5 = 2 5÷2 = 5,6568...
2 2,25 = 2 9÷4 = 4,7568...
2 2,125 = 2 17÷8 = 4,3620...
2 2,0625 = 2 33÷16 = 4,1771...
2 2,03125 = 2 65÷32 = 4,0875...

Pelo menos num teste empírico, o teorema do sanduíche parece ser respeitado. Existem provas rigorosas a respeito disso, então podemos relaxar e seguir para "a grande encrenca": expoentes irracionais.

Uma característica necessária da função suave é não possuir "buracos", ou seja, valores de "x" sem resultado. Ou, pelo menos, possuir um número finito de buracos. Por exemplo a função y=1÷x, que possui um buraco em x=0, é considerada suave. Talvez haja buracos na função potência, porque não a definimos para expoentes irracionais. Considere estes casos:

2 √2 = ?
10 π = ?

Tanto √2 quanto π são números irracionais , e isso é conhecido desde há muito tempo. A propósito, para quem não lembra, número irracional é aquele que não corresponde exatamente a nenhuma fração.

Se não há como expressar π como fração, 10 π não existe, pois não há como elevar 10 ao numerador, e depois tirar a raiz n-ésima apontada pelo denominador. Achamos um indesejável buraco. Pior: existem infinitos números irracionais, portanto os buracos da função potência também seriam infinitos, o que lhe tira a suavidade.

Esse problema me ocorreu pela primeira vez na 7 a série. Perguntei para o professor, e ele sugeriu usar uma aproximação (formalmente conhecida como limite), que consiste em aproximar o resultado "arredondando" o número irracional para um número racional. Exemplo:

10 π "não existe", mas 10 (31415926÷10000000) existe, e é uma aproximação boa.

Isso resolve o problema do ponto de vista prático: podemos aproximar do valor verdadeiro de 10 π tanto quanto quisermos, basta usar expoentes fracionários (com numeradores e denominadores enormes). Mas isto não prova que uma potência com expoente irracional realmente exista .

Há outros problemas. Quando a base é negativa, um expoente fracionário 1÷n representa a raiz n-ésima da base. Por exemplo, (-1) 1÷2 seria a raiz quadrada de -1, cujo resultado não é um número real. O resultado só é real quando o exponente possui denominador ímpar. No caso de expoentes na forma m÷n , o resultado também é real se o numerador m for par.

Mas, se o expoente for irracional, simplesmente não sabemos se devemos considerar numerador e denominador como pares ou ímpares, e portanto nem sabemos se o resultado é real ou complexo!

Para fecharmos esses buracos, precisaremos redefinir a função potência de outra forma, radicalmente diferente. Prepare-se para descobrir que te ensinaram um monte de mentiras no ensino fundamental :)

Reaprendendo o que é potência

Considere a curva da função recíproca: y = 1÷x = x -1 . É aparentemente simples. Vários matemáticos tentaram, sem conseguir, determinar a área sob essa curva. Esse problema só foi resolvido com o advento do cálculo de Newton e Leibniz.

Figura 1: Curva da função recíproca. A área sob esta curva corresponde à função ln(x)

A função recíproca é contínua e suave, ou seja, não tem os famigerados buracos, mesmo quando x é irracional. Existe exatamente uma descontinuidade em x = 0, mas como é apenas uma, podemos lidar com isso.

Antes do cálculo, o que já se "sabia", ou melhor, os matemáticos desconfiavam, é que a área sob essa curva cresce logaritmicamente com o avanço de x. Devido a isso, a função da área dessa curva (hoje conhecida como integral definida) foi batizada de "ln".

ln(x) corresponde à área sob a curva x -1 , a partir de x = 1, para frente ou para trás. A área começa a ser contada a partir de x = 1, pois x = 0 é uma descontinuidade. Para calcular ln(3), contamos a área de x = 1 até x = 3. Para calcular ln(0.5), contamos a área de x = 1 até x = 0.5 andando para trás e considerando o resultado como negativo.

Outra coisa que o cálculo provou, é que todas as propriedades dos logaritmos também se aplicam à função ln(x). Tratam-se daquelas propriedades que aprendemos no segundo grau, por exemplo: ln(x 2 )=2.ln(x). Foi um caso de "duck typing" matemático - se a função grasna como um pato e anda como um pato, então é um pato.

Se a função recíproca é contínua em intervalos controlados, a área sob essa curva também é uma função contínua, e ln(x) é contínua para qualquer x > 0.

Relembrando a definição de logaritmo:

log 1000 = 3, pois 10 3 = 1000, e log(x) é o logaritmo na base 10.

A base de log(x) é 10. Se ln(x) é uma função logarítmica, também precisa ter uma base. Suspeitava-se que era um número em torno de 2.71828, mas apenas com o advento do cálculo foi possível provar isso.

Uma vez provado que:

então a função exponencial é definida como o inverso da função logarítmica:

y = ln(x)

x = e y

A função y = ln(x) é contínua (sem "buracos") para x > 0, e o seu resultado (y) pode ser qualquer número real. Da mesma forma, e y é contínua, e "y" pode ser qualquer número real, inclusive zero, negativo, fracionário ou irracional.

Assim, conseguimos abrir uma exceção para as potências com expoentes irracionais: pelo menos quando a base é o número "e" , qualquer expoente é válido, e a função potência é contínua (sem buracos).

Agora, vamos usar essa constatação para redefinir a função potência, com o objetivo de admitir qualquer valor real como expoente. As propriedades dos logaritmos nos auxiliam nisto. Por exemplo:

10 n = e n × ln 10

Como e n e ln(x) são funções contínuas, existe resultado para qualquer valor de n . Podemos afirmar que 10 π "não existia" pela definição original de potência, mas passa a existir quando adotamos a nova definição, baseada no número de Euler.

A definição de potência que aprendemos no ensino fundamental é apenas um caso-limite, que só vale para expoentes racionais.

Ok, talvez eu esteja exagerando um pouco. A definição "do primário" ainda é soberana quando lidamos exclusivamente com números inteiros. A criptografia moderna e muitos outros truques de matemática discreta baseiam-se em potências de inteiros. Mas, em se tratando de números reais, a nova definição é quem vale.

Colocando a coisa em termos mais gerais:

a n = e n × Ln a (a ≠ 0)

A definição acima é válida inclusive para bases negativas, desde que utilizemos números complexos. Um número negativo tem inúmeros logaritmos, porém todos complexos. Um deles é considerado o "principal". Quando queremos deixar claro que desejamos apenas o logaritmo principal, usamos Ln(a) (com L maiúsculo) em vez de ln(a).

Resta tratar o caso a=0. Podemos apelar ao conceito de limite: é fácil constatar que a expressão tende a zero quando a base tende a zero.

A nova definição funciona inclusive com bases e expoentes complexos, o que viabiliza esta intrigante igualdade de Euler, cujo expoente é imaginário e irracional ao mesmo tempo:

e = -1

O fato é que todas estas coisas não serviriam de nada, se não fossem utilizáveis na prática. Felizmente, elas são! Como a origem das funções ln(x) e e x é a singela função x -1 , seus valores são facilmente calculáveis através de séries infinitas, compostas apenas de operações elementares. Por exemplo:

ln(1+x) = x - x 2 ÷2 + x 3 ÷3 - ...

Apesar do nome "série infinita", na prática a série só é calculada até o resultado atingir a precisão desejada, algo como 10 casas decimais nas calculadoras de bolso.

Todas as funções transcendentais - logaritmo, seno, cosseno, exponenciação etc. - são computadas usando séries infinitas. Ou você achava que a calculadora tinha uma tabela de logaritmos e cossenos? ;)

Ou você achava que, quando faz 2 50 na calculadora, ela realmente faz cinqüenta multiplicações? Nada disso, a calculadora faz o mesmo esforço para calcular qualquer potência, não interessa qual é a base ou o expoente.

Em particular, para calcular 2 50 , a operação executada internamente é

e 50 × ln(2)

Ou, da mesma forma, quando você faz 10 π na calculadora, ela efetivamente usa a fórmula

e π × ln(10)

pois além dessa potência "existir", é fácil de calcular e a operação envolve números pequenos em todos os passos intermediários:

e π × ln(10) = e π × 2.3025 = e 7.2337 = 1385.45

Calcular 10 π usando a aproximação racional 10 31415926÷10000000 seria burrice: envolveria números gigantescos, o que tornaria a calculadora cara e lenta, sem devolver nenhum benefício em termos de precisão.

Com essa nova definição de potência, é possível fazer prova mais rigorosa dos casos aparentemente triviais onde um expoente é zero, negativo ou fracionário. Pode-se inclusive estender a função para os casos onde a base e/ou o expoente são números complexos.