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Liberte sua mente: axiomas de Peano

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Aviso: este artigo pode deixar você doidão.

Meu filho está naquela idade safadinha, três para quatro anos, em que as crianças testam os nossos limites o tempo todo. Ele pede uma bala, a gente diz "ok, só uma!", aí ele pensa, olha para a mão, aí mostra uns dedinhos e retruca: "só três", "só quatro". Às vezes está mais abusado que o usual e vai dizendo "só dez"!

Me bate então a curiosidade: como ele enxerga os números? Por exemplo, o número três; o que ele pensa quando fala "três"? Um gosto doce na boca mais longo que o normal? Três dedinhos? Ou talvez uma bala em cada mão e mais uma sobrando?

Mas, pensando melhor, o que significa exatamente "três"? Três laranjas, três bananas. Porque dizemos que aquele cesto tem três em vez de quatro, cinco ou duas frutas?

Que diferença faz, afinal? Para que ficar contando as coisas? Animais não contam e sobrevivem numa boa sem esta capacidade. Até que ponto o "três" realmente existe na Natureza, independente da vontade humana de rotular as coisas e as quantidades?

Outra pergunta que pode angustiar filósofos e teólogos: se há infinitos números inteiros, como Deus lidaria com isto? Será que Ele conhece todos os números? Seria isto possível? (Taí uma coisa muito mais interessante e importante para os cristãos estudarem, do que ficar discutindo se posição sexual A ou B é pecado.)

Aprendemos que 2 + 3 = 5. Quem garante que isto é verdade? Se não sabemos definir o que é "dois" ou "três", como podemos dizer que a soma dos dois dá "cinco"? O que é somar? A professora dizia que não se pode somar laranjas e bananas. Quem garante que "dois" e "três" não são, também, entidades incompatíveis, frutas diferentes?

Ok, antes de prosseguir por este caminho, vou contestar outra coisa: a forma que usamos para representar números. Por exemplo, porquê "três" é 3? Ou, mais direto ao ponto, porque "vinte" é 20?

Vinte dedos eu consigo visualizar, se pegar um martelo e bater no dedo da mão ou do pé eu vou saber que ele está lá, mesmo sem enxergar. Mas "2" e "0" justapostos significam a mesma coisa?

é o tal do sistema decimal, ou melhor, o sistema posicional decimal. "Posicional" porque a posição do número muda seu significado. O "2" do lado esquerdo do "0" significa "duas mãozadas cheias de dedos". É um sistema prático para representar grandes quantidades, como a dívida pública.

Quem trabalha com informática aprende outros sistemas, todos posicionais: o hexadecimal, o binário, os mais velhos na profissão aprenderam até o octal. Quem enveredou pela ciência da computação teve contato breve com o sistema ternário.

Mesmo o sistema binário tem dois dígitos: 1 e 0. É possível um sistema numérico com apenas um dígito? O senso comum diz que não, já que sobraria apenas o dígito zero, e qualquer sequência de zeros, por mais longa que seja, vale apenas zero. Daí a expressão "zero à esquerda"...

Mas o sistema unário existe, e ele usa apenas o "1". O senso comum nos engana porque todos os outros sistemas têm zero, mas o unário é exceção. Também pensamos que o zero é necessário para posicionar os dígitos no número, mas veremos que o unário não precisa disto.

Figura 1: Contando com pauzinhos. Fonte: Wikipedia

Bem, e como representar números em unário? Três é 111, cinco é 11111, um é 1, dez é 1111111111. O sistema unário não só existe como ele é bastante usado. Basta lembrar daquela cena clássica do cara na prisão, riscando palitinhos na parede para contar os dias.

Quando você era pequeno, aprendeu a contar em unário, usando os dedinhos.

O zero, ou quantidade nula, é representado simplesmente pela ausência do número. Isto às vezes é um problema porque não existe uma distinção entre "zero" e "nada". Uma cela sem nenhum palitinho riscado na parede pode ser tanto uma cela recém-pintada quanto uma cela onde as pessoas só ficam presas por poucas horas.

Um "antídoto" para a falta do zero é representar os números com um deslocamento. O preso entra na cela e já risca um palitinho na parede. O próximo preso saberá que alguém esteve ali por pelo menos a fração de um dia.

O sistema de numerais romanos é essencialmente unário, a única "melhoria" em relação ao unário puro é que os palitinhos podem ser aglomerados e.g. usando IV em vez de IIII. Mas expressar quatro como IIII em romano não é errado; vi relógios antigos que usam IIII em vez de IV. A rigor não é errado expressar cinco como IIIII, embora comece a ficar chato.

Assim como o sistema unário, os numerais romanos não têm o zero e também são pouco práticos para fazer contas com caneta e papel.

Concluindo, vemos que o sistema unário existe e é perfeitamente válido. Mais: é mais fácil enxergar o real significado de um número (como "três") no sistema unário.

Mais: o sistema unário tem algumas propriedades únicas, talvez de valor mais teórico que prático, mas ainda assim importantes do ponto de vista científico. Podemos usar expressões regulares para manipular números unários e realizar operações aritméticas ou determinar se um número é primo.

Voltando às nossa dúvidas existenciais: o que é três? Por que dois mais dois é igual a quatro? Se eu não consigo definí-los, talvez tudo que se aprenda na escola, na aula de matemática, seja pura balela para distrair a petizada enquanto os pais vão trabalhar.

Ao mesmo tempo, "sentimos" que os números têm um certo sentido prático. Até analfabetos sabem contar dinheiro, por exemplo.

Pois bem, o matemático Giuseppe Peano debruçou-se sobre estas questões, e conseguiu chegar a um conjunto de definições (axiomas) extremamente compacto, que define perfeitamente o que é número, o que é soma, etc.

Em primeiro lugar, zero (0) é definido como um número, mas sem qualquer preconceito a respeito do quanto ele "vale". A constatação que zero é nada virá mais tarde.

Em seguida, temos a definição da função sucessora, que abreviarei aqui para S(x):

Número é aquilo que possui um sucessor. Esta é a essência do número.

Com esta definição, podemos definir perfeitamente o que é "três": é o sucessor de 2. Nada mais. É claro, aí temos um novo problema: definir o que é "dois". Mas agora ficou mais fácil: "dois" é o sucessor de um, e "um" é o sucessor de zero.

Assim, a definição completa de "três" é S(S(S(0))). O rótulo "três" é uma mera palavra que escolhemos para rotular o terceiro sucessor de zero.

Alguém poderia afirmar que as letras do alfabeto também tem sucessoras: B sucede A, X sucede W, etc., portanto preenchem a definição de número. Mas Z não tem sucessor, e esta quebra na corrente é suficiente para desqualificar um alfabeto como um sistema numérico.

Agora, vamos às definições de soma e multiplicação:

x + 0 = x
x + S(y) = S(x + y)

Finalmente podemos afirmar que zero é nulo, porque segundo a definição acima, somar zero a um número não o modifica, não acrescenta nada. (Não é curioso que só podemos confirmar a nulidade do zero porque existe adição?)

Para adição de números não-nulos, a definição tem de ser aplicada recursivamente, como ilustra o exemplo abaixo:

2 + 3
2 + S(2)
S(2 + 2)
S(2 + S(1))
S(S(2 + 1))
S(S(2 + S(0)))
S(S(S(2 + 0)))
S(S(S(2)))
5

2 + 3 = 5

Também é fácil deduzir que adicionar 1 a um número é o mesmo que buscar seu sucessor:

x + 1
x + S(0)
S(x + 0)
S(x)

x + 1 = S(x)

De forma análoga, a multiplicação é definida por Peano como:

x . 0 = 0
x . S(y) = x + (x . y)

O curioso da definição acima é que o elemento neutro da multiplicação — o número um — emerge naturalmente, sem aparecer explicitamente em nenhum axioma.

A partir destas regras básicas podemos definir todo o resto da aritmética, por exemplo o que é um número primo.

E está um pouco mais claro (pelo menos para mim) como Deus lida com a infinitude dos números naturais. Ele apenas criou as regrinhas acima. Ou criou Peano para fazer este serviço :)

Grupos

Outro caminho pelo qual os sistemas numéricos emergem "do nada" são os grupos, um conceito inventado pelo legendário matemático Evariste Galois. Dizem que ele colocou toda a sua obra no papel apenas na noite anterior a um duelo, que perdeu, morrendo aos 20 anos.

Um grupo é um pacote de dois elementos: um conjunto de números G e uma operação algébrica binária (envolvendo dois números), como adição ou multiplicação. Usarei adição como exemplo.

Para que este pacote mereça o nome de "grupo", ele precisa cumprir alguns requisitos:

Números inteiros (Z) são um grupo sob a operação de adição, pois cumpre todos os requisitos. Tal grupo seria expesso pela notação (Z,+). Já os números naturais (N) não são um grupo em (N,+), pois os inversos dos números naturais são justamente os números negativos.

O conjunto (N,+) é um semi-grupo pois a adição ainda é associativa; e também é um monóide pois há elemento neutro.

Nem (Z,×) nem (N,×) são grupos; mas o conjunto dos números racionais (Q) é um grupo sob adição e multiplicação.

As operações de subtração e divisão não formam grupos pois não são associativas nem possuem elemento neutro à esquerda. "Grupos" como (Z,-) ou (Q,÷) são na verdade grupóides, onde as operações são, pelo menos, fechadas. Já (N,-) não é fechada e não é sequer um grupóide.

Até agora não falamos de comutatividade (a+b=b+a). Ela não é requisito para a existência do grupo. Exemplos de operações não comutativas: multiplicação de matrizes e produto vetorial.

Mas é certo que, no dia-a-dia, as operações comutativas são muito mais usuais. Grupos comutativos como (Z,+) são denominados grupos abelianos.

A aritmética tal qual a conhecemos emerge de três objetos totalmente abstratos:

Qualquer mudança neste tripé de equilíbrio delicado e acabamos com uma aritmética completamente alienígena, sem relação com a "realidade natural".

Para começar de leve, vamos considerar um conjunto finito de números, como as horas de um relógio. Normalmente um relógio tem horas de um a doze, mas vamos considerar que meio-dia é igual a zero, então a faixa de números fica de 0 a 11.

Na aritmética do relógio, 11+4=3 e 3-8=7. Os resultados parecem meio bizarros, mas basta imaginar que estamos adiantando ou atrasando um relógio para aceitar esta nova realidade. Temos até números inversos não-negativos nesta aritmetica, visto que 5+7=0, 4+8=0, etc.

Em vez de números poderíamos usar conjuntos de quaisquer elementos (polinômios, conchas da praia, absolutamente qualquer coisa) e formar grupos. Basta definirmos cada possível resultado da adição (e/ou multiplicação) de elementos.

E os resultados nem precisam ser congruentes com a aritmética "ordinária"; basta que a tabela de resultados atenda às propriedades usuais de um grupo: associatividade, elemento neutro, etc.

Na verdade, se você tentar inventar um grupo "do nada", vai descobrir logo que as exigências aparentemente singelas de um grupo acabam se impondo fortemente sobre as tabelas de resultados.

Suponha um conjunto de três "objetos": [A,B,C], com o qual pretendo construir um grupo sob "adição". Preciso construir uma tabela de "adição" que atenda aos requisitos de associatividade, elemento neutro e inverso. Em primeiro lugar preciso escolher um elemento neutro, que será o "A":

+    A  B  C
------------
A    A  B  C
B    B  .  .
C    C  .  .

Só com esta escolha já temos cinco resultados "imexíveis", já fica claro que a nossa liberdade na formação da tabela não é grande.

Agora resta definir as operações entre B e C. Não podemos fazer B+B=B, porque então B seria neutro, e só pode haver um neutro no grupo (que é A). Assim, forçosamente B+B=C. O mesmo raciocínio vale para a "soma" C+C.

+    A  B  C
------------
A    A  B  C
B    B  C  .
C    C  .  B

Resta agora definir B+C e C+B. Todo elemento do grupo tem de possuir um inverso, assim a única opção é definir B e C como inversos um do outro: B+C=C+B=A.

+    A  B  C
------------
A    A  B  C
B    B  C  A
C    C  A  B

Vemos assim que o grupo impôs, com mão pesada, a forma da nossa "aritmética".

E Galois faz o mesmo com a aritmética convencional. Você já parou para pensar por que dois números negativos, quando multiplicados, dão resultado positivo? Este fato emerge diretamente do conceito de grupo.

Imagine um grupo com apenas dois números, +1 e -1, sob multiplicação. O neutro, já sabemos que é +1 e isto já compromete três de quatro pontos da tabela:

x      1  -1
------------
 1     1  -1
-1    -1  ??

Para fechar o grupo, precisamos arranjar um elemento inverso para -1. E só pode ser ele mesmo, já que +1 é o neutro. Assim sendo, (-1)×(-1)=+1.

Voltando ao grupo-cobaia com três elementos [A,B,C], talvez tivéssemos outra opção de arranjar a tabela. Vamos verificar.

Se considerássemos que B e C são inversos de si mesmos, e não um do outro, então B+B=C+C=A:

+    A  B  C        (tabela que pode não ser válida
------------         para um grupo)
A    A  B  C
B    B  A  .
C    C  .  A 

Agora resta definir o que é B+C e C+B. Não pode ser verdade que B+C=A, porque B e C não são inversos, cada elemento só pode possuir um inverso.

A igualdade B+C=B também não pode ser verdadeira, porque então C seria mais um elemento neutro. O mesmo raciocínio invalida as possibilidades B+C=C, C+B=B e C+B=C.

Assim, concluímos que o arranjo da tabela de resultados obtido anteriormente é o único possível para o elemento neutro A.

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