Um pouco sobre a relatividade
Um pouco sobre a relatividade
DISCLAIMER: como de costume, só avancei no assunto até o ponto em que me considerei convencido, então não espere demonstrações rigorosas.
Nas últimas semanas, me dediquei a estudar o eletromagnetismo (ou seja, assistir vídeos de YouTube relativos a este tema construtivo, em vez de bobagens). Em particular, quis aprender de uma vez por todas as noções de campo magnético, indutância, reatância, etc. Conhecia meio por cima, porque todo mundo ensina meio por cima, talvez por igualmente não ter compreensão absoluta. Recomendo muito as aulas gravadas do professor Shankar da universidade de Yale.
É interessante como o professor Shankar já introduz a relatividade de Einstein, na primeira e também na última aula do curso, demonstrando que, num mundo que só conhecesse eletricidade e relatividade, o magnetismo seria descoberto "com lápis e papel", ou seja, ele precisa existir para as contas fecharem, mesmo que não fosse facilmente observável. Este vídeo do Veritasium explica melhor do que eu jamais poderia.
No final do século XIX, a sensação era que a Física era uma ciência em vias de ser esgotada. Os cientistas fizeram inúmeras conquistas seguidas, culminando com as Equações de Maxwell, que explicavam perfeitamente a interação entre campos elétricos e magnéticos.
Maxwell previu a existência de ondas eletromagnéticas que se propagam no vácuo, cuja velocidade prevista era "coincidentemente" a velocidade da luz. Pelo menos em se tratando de ondas de rádio, sua existência foi confirmada pelos experimentos de Hertz, e gradualmente aceitou-se que a luz era da mesma natureza.
Hertz e Heaviside também trabalharam do lado da matemática, reduzindo as equações de Maxwell de 20 para 4 e para uma linguagem matemática mais "acessível", o que ajudou na sua divulgação e aceitação.
Na época acreditava-se que o átomo funcionava unicamente segundo as leis do eletromagnetismo, então bastava a instrumentação melhorar a ponto de detectar átomos individuais, que isto seria confirmado. (Spoiler: as forças que mantém o núcleo do átomo são de outra natureza, conhecidas como "força fraca" e "força forte". Quem quer que as tenha batizado, não estava muito inspirado.)
Havia algumas coisinhas inexplicadas aqui e ali, como o efeito fotoelétrico e a velocidade da luz que teimava em ser sempre rigorosamente a mesma, experimento após experimento. Os cientistas acreditavam que a luz tinha um referencial absoluto de velocidade, o "éter", que seria algo como um sistema de coordenadas perfeitamente parado no Universo.
Seguindo esta lógica, a velocidade da luz deveria ser diferente conforme a época do ano, porque a Terra gira em torno do Sol, então numa estação do ano ela está "indo" e noutra ela está "vindo" em relação ao éter. O famoso experimento "fracassado" de Michelson e Morley demonstrou que isso era falso — a luz tinha sempre a mesma velocidade, mesmo para observadores em movimento, fosse qual fosse a direção. As explicações foram ficando mais e mais inverossíveis e.g. que a Terra estava arrastando o éter consigo.
Einstein inverteu o problema, postulando que de fato a velocidade da luz era sempre igual para todos os observadores, estejam em movimento ou não. Isto vale inclusive para um mesmo raio de luz contemplado por dois ou mais observadores, cada um movimentando-se a uma velocidade diferente. Não há observador "privilegiado" que seja "melhor" que os demais.
Durante o meu tempo de vida isto sempre foi aceito (até por ter sido sobejamente provado) e inclusive inspiração de inúmeras piadas bobas que brincam com o mote "tudo é relativo". Mas em 1905 pouca gente estava preparada para aceitar este postulado e suas consequências.
Para que a luz (ou melhor, a onda eletromagnética) tenha velocidade absolutamente fixa independente de referencial, todo o resto tem de tornar-se relativo: tempo, massa, comprimento.
A clássica ilustração é um observador A dentro de um vagão de trem em movimento, enquanto outro observador B está ao largo do lado de fora. Dentro do vagão, um fóton de luz é emitido, transversalmente ao movimento do vagão, refletido por um espelho, e finalmente detectado por um sensor, com o objetivo de medir o tempo de ida e volta.
Para o observador A, o fóton descreve uma trajetória reta e curta, apenas ida e volta. (Imagine um vagão sem janelas e um trem a velocidade constante, portanto A nem tem como saber se está em movimento ou parado.)
Já para o observador B, o fóton descreveu uma trajetória mais longa, formando a hipotenusa de um triângulo cuja base é o deslocamento do vagão.
Porém, se o postulado da relatividade estiver correto, o fóton cobriu duas distâncias diferentes, num mesmo tempo, com a mesma velocidade da luz "c" que é igual para todos os referenciais. Como isso é possível?!
Para conciliar os dois pontos de vista, o tempo tem de ser relativizado. Para o observador dentro do vagão, o tempo passa mais devagar. O fator de distorção (conhecido como transformada de Lorentz) pode ser calculado com relativa facilidade: basta usar Pitágoras.
No limite, conforme o vagão aproxima-se da velocidade da luz, a duração do experimento tenderia ao infinito para o observador externo, e o tempo tenderia a parar para o observador interno.
Suponha agora o mesmo vagão de trem, porém agora a experiência de ida e volta do fóton é repetida no sentido do comprimento do vagão. Para o observador A, tudo acontece conforme ele espera. O tempo de ida e volta é função do comprimento do vagão.
Já para o observador externo B, o fóton percorre uma distância maior na ida e menor na volta, pois o espelho está "fugindo" do fóton, enquanto o sensor está indo de encontro ao fóton.
No cômputo do tempo total de ida e volta, mesmo levando em conta a dilatação do tempo experimentada pelo observador A, as diferenças não se compensam totalmente. Resta uma diferença por explicar.
Para fechar a conta, o comprimento deve ser relativo. O vagão contrai-se no sentido do comprimento do ponto de vista do observador externo B, conforme a velocidade do mesmo aproxima-se à da luz.
Este efeito é simétrico: se houver janelas no vagão, o observador interno também enxerga os objetos externos contraídos, no sentido da direção da viagem.
Este vídeo ilustra bem a contração do comprimento, que é um aspecto da Relatividade particularmente difícil de observar experimentalmente.
No exercício anterior, aparece outra questão que é a simultaneidade. Para o observador A, o fóton leva o mesmo tempo na ida e na volta. Para o observador B, leva tempos diferentes.
Outro exercício de pensamento semelhante ao anterior, é o seguinte: dentro de um vagão em movimento, dois fótons são emitidos a partir do meio do vagão, e quando eles atingem as extremidades, um evento bem visível acontece (digamos, explode uma bomba).
O mesmo paradoxo acontece aqui: para um observador A dentro do vagão, os dois eventos acontecem simultaneamente. Para um observador B fora do vagão, os dois eventos têm de acontecer um após o outro, visto que o fóton que vai "contra" o movimento do vagão encontra antes o alvo.
Isto não afeta a relação de causalidade. Suponha que A e B possuam um canal de comunicação. Porém, esse canal não pode ser mais rápido que a luz. Então, por mais que A ou B percebam um evento "antecipadamente", um não consegue avisar ao outro, pelo menos não antes que o evento já tenha acontecido também para o segundo.
Em suma, a quebra da simultaneidade não permite prever o futuro, nem ser avisado antecipadamente sobre o futuro.
É interessante lembrar da questão do "quantum", que será necessário para abordar o próximo item. Um problema não-resolvido na Física era o espectro de emissão luminosa de um corpo quente, também conhecida como "radiação do corpo negro". Este espectro é, por exemplo, responsável pela cor de um tição em brasa, e mesmo pela cor (e pela radiação ultravioleta) do Sol.
A melhor fórmula encontrada pelos físicos do século XIX foi a Rayleigh-Jeans, que acertava em baixas freqüências, mas tendia ao infinito em altas freqüências, defeito conhecido como "catástrofe ultravioleta". O físico Max Planck achou uma fórmula que concordava perfeitamente com os resultados experimentais, mediante um truque: presumindo que a emissão de energia seria quantizada e proporcional à freqüência.
Planck apenas adotou esse postulado para encontrar a fórmula, achando que a verdadeira explicação estava pendente de descoberta. Einstein logo reconheceu que a emissão de fótons devia ser mesmo quantizada, ideia que inicialmente não foi aceita nem por Planck, mas Einstein foi logo fazendo uso dela para explicar o efeito fotoelétrico, onde apenas a luz de uma certa cor provocava um certo efeito.
Antes de Planck e Einstein, emissões eletromagnéticas como o rádio e a luz eram entendidos como ondas que podiam ter qualquer amplitude, por menor que fosse. Depois deles, emissões eletromagnéticas são entendidas como fótons. Mas eles ainda têm características de onda (os físicos do século XIX não foram enganados tão redondamente assim) e esta dualidade inaugura a mecânica quântica.
Já era sabido que ondas eletromagnéticas tinham momento ou "pressão de radiação", equivalente a E/c, onde E é a densidade energética e "c" e é a velocidade da luz. (Foi outra grande conquista do século XIX, provar que uma onda sem massa poderia ter momento.) Einstein demonstrou que, se a fórmula de Planck era correta, o momento dos fótons também era quantizado.
A questão do momento é importante porque, relembrando as leis de Newton, a conservação do momento é uma lei mais "forte" que a conservação da energia, pois energia pode ser convertida de um tipo para outro, enquanto o momento só existe em um sabor.
Para demonstrar que energia e massa possuem uma relação, Einstein recorreu a diversas situações imaginárias. A que considero mais fácil de entender é a seguinte:
Imagine um objeto de massa "m". O observador A está parado em relação à massa "m", portanto ele observa que a massa está parada. Já o observador B desloca-se a uma velocidade "v" em relação à massa, portanto do ponto de vista dele a massa desloca-se a uma velocidade −v e possui momento −m.v.
A massa então emite dois fótons, de mesma frequência ou cor, um para a esquerda, outro para a direita. (Não importa o mecanismo pelo qual isto acontece.) Cada fóton carrega um momento, −p e +p, e imprime um momento oposto à massa (+p e −p, respectivamente).
Uma vez que os dois momentos são iguais e opostos, um cancela o outro. Do ponto de vista de A, a soma dos momentos dos fótons é zero, então a expectativa é que a massa permaneça parada no lugar, e de fato ela fica parada.
Já do ponto de vista de B, as coisas não são tão simples. Devido ao efeito Doppler (que já era bem conhecido antes de Einstein), o fóton esquerdo, que vem na direção de B, vai sofrer "blue shifting" e parecer mais energético, enquanto o fóton emitido à direita vai sofrer "redshifting" e parecer menos energético.
Portanto, do ponto de vista de B, o fóton esquerdo tem mais momento. Há uma diferença que só pode ter ido parar na massa "m". A fórmula do momento é massa × velocidade, e pela mecânica clássica, a diferença deveria ter freado levemente a massa. Mas não é o caso, por dois motivos:
a) Não é o que se observa experimentalmente.
b) Se a massa sofresse uma redução na velocidade no ponto de vista de B, a massa começaria a mover-se no ponto de vista de A, o que seria totalmente inesperado. (Imagine um mundo onde as coisas começam a se mexer só porque há um observador em movimento por perto!)
Einstein raciocinou que, se a velocidade não pode sofrer redução, a massa é que foi reduzida, no montante suficiente para compensar a diferença de momento. Fazendo todos os cálculos, a começar pela diferença de momento entre os fótons em função da velocidade de B, Einstein concluiu que a massa perdida pela emissão de um fóton é igual a m=E/c², onde "E" é a energia total de um fóton.
Agora, o pulo do gato: para este raciocínio ser válido, esta perda de massa tem de acontecer para todos os observadores, estejam parados ou em movimento. Porque desse jeito, a conta fecha para todos.
Disto, Einstein tirou três conclusões:
a) um objeto com mais energia armazenada tem de ser mais pesado, seja qual for a forma de energia. Um ferro em brasa é mais pesado do que o mesmo ferro frio, uma bateria cheia pesa mais que uma vazia, um automóvel em movimento pesa mais que um parado etc. pois qualquer forma de energia pode ser utilizada para emitir fótons, não existe massa negativa, e não se pode perder o que não se tem.
b) com um pouco mais de matemática, Einstein provou que nenhum objeto com massa pode atingir a velocidade da luz, pois ele torna-se progressivamente mais pesado conforme é acelerado, e sua massa vai tendendo ao infinito.
Isto também pode ser constatado no cenário descrito antes. Se o observador B tende à velocidade da luz, o fóton que sofre "blue shifting" possui energia tendendo ao infinito (do ponto de vista de B) o que significa que a massa também tende ou tendia ou infinito.
c) Einstein postulou que, se a perda ou ganho de massa é dada por m=E/c², a energia correspondente à massa de repouso poderia muito bem ser E=mc², e que em tese uma pequena massa possui enorme quantidade de energia intrínseca.
Tudo isto foi, a seu tempo, comprovado de forma bastante espetacular pela física nuclear e pela bomba atômica.
Ainda segundo o raciocínio desenvolvido há pouco, um fóton não tem massa de repouso (por isso pode andar na velocidade da luz), mas possui uma "massa relativística" m=E/c² ditada pela sua energia, que é diretamente proporcional à freqüência. Isto permite explicar por que fótons são desviados pela gravidade de um objeto massivo, como uma estrela.
A relatividade também mudou o entendimento sobre a gravidade. Ela não é mais considerada uma força, mas sim uma distorção do espaço-tempo, analogamente à força de Coriolis que faz os redemoinhos e os furacões girarem no sentido anti-horário no hemisfério sul.
A gravidade sempre foi estranha porque é uma força perfeitamente proporcional à massa, de modo que a aceleração é sempre a mesma, dadas as mesmas condições (e.g. objeto na superfície da Terra no nível do mar).
Novamente, um exercício mental esclarece a questão. Quando sofremos uma aceleração e.g. dentro de um automóvel que acelera ou freia, nós sentimos essa aceleração prontamente. Porém a aceleração da gravidade é diferente. Uma pessoa em queda livre, ou dentro de um elevador cujo cabo arrebentou (bata na madeira) não sente uma força acelerando-a para baixo. Ela só sabe que está caindo por que tem olhos que vêem a terra chegando perto e/ou um cérebro que prevê o que vai acontecer quando bater no chão.
Uma pessoa saudável talvez não tome conhecimento da gravidade quando está de pé ou sentada. Se estiver com alguma dor muscular, ela até sente o próprio peso. Porém, a força sentida não é a gravidade, e sim a força normal, ou seja, o chão ou a cadeira fazendo força para cima, evitando que você caia até o centro da Terra.
Isto não é fruto da consciência ou da percepção. Um acelerômetro apresentaria exatamente os mesmos números.
Suponha um objeto atirado de um avião. Ele cai porque, devido à massa da Terra, as linhas de espaço-tempo no entorno são curvas na direção do chão. Enquanto estiver em queda livre, o objeto está efetivamente seguindo uma "linha reta" no sistema de coordenadas relativístico. O seu destino natural é se esborrachar no chão. Por outro lado, um objeto em repouso no chão está sempre "subindo".
É difícil imaginar isto porque as coordenadas relativísticas têm 4 dimensões: as 3 dimensões usuais mais o tempo. A distorção gravitacional é um função do tempo, por isso seu efeito aparente é uma aceleração constante no tempo.
Surpreendentemente, muitos outros físicos já tinham especulado sobre a relação entre massa de repouso e energia, seguindo raciocínios mais ou menos falsos, porém chegando a conclusões surpreendentemente próximas às de Einstein.
Como dito antes, no século XIX os físicos conquistaram um bom domínio do eletromagnetismo, e começaram a especular se tudo poderia ser explicado em termos de eletromagnetismo — inclusive a massa de repouso dos objetos. Alguns especularam que toda a massa poderia ser explicada em termos de energia eletromagnética presa dentro do átomo. Tais especulações chegaram a fórmulas como E=4/3mc² e E=1/2mc², nada mal para quem estava tateando no escuro.
Alguns experimentos demonstraram que acelerar uma partícula carregada custava mais energia que uma sem carga, e que elétrons acelerados por um tubo de raios catódicos pareciam ter mais massa, proporcionalmente à velocidade, e que essa massa aumentava sem limite conforme se aproximava da velocidade da luz.
Em paralelo, havia a crença no éter, que seria o meio de propagação das ondas eletromagnéticas, e obviamente havia a especulação em torno da sua natureza. Uma hipótese muito interessante (lembrando o campo de Higgs) é que o éter era formado de partículas sem massa, andando na velocidade da luz em todas as direções, e que a massa da matéria surgia da interação dessas partículas com a energia eletromagnética do átomo. A relação sugerida acertou o bolão: E=mc².
Noves fora a questão da quantização da energia do fóton e da carga elétrica (o elétron parece ser a menor carga que pode existir), as equações de Maxwell resistiram bem ao vendaval da relatividade. Elas permanecem válidas para observadores em qualquer velocidade.
Com a ressalva que a relatividade unificou os campos elétrico e magnético, hoje entendidos como uma única coisa, o campo eletromagnético. Já citei este vídeo do Veritasium, mas não posso resistir a tentar explicar eu mesmo.
Quando há uma corrente elétrica num fio, a "pressão" elétrica anda numa velocidade próxima à da luz. Mas a velocidade média dos elétrons no condutor é pequena, da ordem de milímetros por minuto. Isto acontece porque o metal está cheio de elétrons livres, então a corrente elétrica representa uma pequena fração deles entrando de um lado e saindo pelo outro.
O condutor também é composto pelos átomos cujos núcleos são positivos, que não se movem. Então, existe movimento relativo entre elétrons e prótons. Mas isso não muda o fato que o número de prótons e elétrons presentes no condutor é exatamente o mesmo, e as cargas estão em equilíbrio.
Isto do ponto de vista de um observador parado em relação ao condutor. E se este "observador" for uma carga elétrica, ela não será nem atraída nem repelida pelo campo magnético.
Já um observador movendo-se ao longo do condutor na mesma velocidade que os elétrons, "vê" os elétrons parados. Isto cria o primeiro paradoxo: o magnetismo é produzido por cargas elétricas em movimento. Um observador que acompanha os elétrons não deveria perceber nenhuma força magnética, pois está parado em relação a eles. Mas não é o que acontece na prática. Você pode andar para lá e para cá ao lado de um fio ou bobina, e o campo magnético continua lá e não muda.
Se o "observador" em movimento for uma carga elétrica, que por sua vez gera seu próprio campo magnético, os dois campos interagem e a carga será atraída ou repelida pelo fio, dependendo se for negativa ou positiva. Mas novamente, como poderiam interagir se a carga elétrica está parada em relação aos elétrons do fio e vice-versa?
O segundo paradoxo é que, para um observador que acompanha os elétrons, os prótons parecem estar andando no sentido oposto. Uma vez que, segundo a relatividade, há contração do comprimento quando há velocidade relativa entre objeto e observador, o observador em movimento "enxerga" os prótons mais próximos entre si.
Em havendo mais prótons que elétrons por unidade de comprimento, o fio passa a possuir carga elétrica positiva, e portanto atrai ou repele outras cargas elétricas próximas. Apesar das velocidades serem tão pequenas, a força eletromagnética é tão intensa que o efeito relativístico já deveria se fazer sentir. Portanto, o observador em movimento deveria não sentir um campo magnético, mas sentir um campo elétrico.
O que resolve o paradoxo é o seguinte: todos os observadores, estejam em repouso ou em movimento, sofrem os mesmos efeitos colaterais nas imediações de um fio conduzindo energia. Uma carga elétrica parada não sente nada, uma carga elétrica em movimento interage, um fio cortando as linhas magnéticas sofre indução.
Porém, para o observador em repouso, eles são causados por um campo magnético. Para o observador em movimento idêntico aos elétrons do condutor, eles são causados por um campo elétrico. Falando poeticamente, o campo magnético existe para "fechar a conta", para que a experiência de diferentes observadores seja a mesma.
Um terceiro paradoxo é: para um observador parado em relação ao fio, os elétrons estão em movimento, portanto deveriam sofrer contração relativística e o fio deveria apresentar uma carga negativa, simetricamente ao caso em que o observador em movimento observa uma carga elétrica positiva. Mas isso obviamente não acontece; uma carga elétrica parada em relação ao fio não sofre nenhuma força. Por quê?
Assim como existe um fluxo de elétrons num sentido, existe um fluxo de "buracos" no sentido oposto. Quando um elétron sai do fio, ele deixa um "buraco" ou excesso de carga positiva para trás, que é preenchido pelo próximo elétron da fila, que deixa um buraco ainda mais para trás, e assim por diante. Esse efeito é tão "real" que antigamente se acreditava que a energia elétrica fluía do positivo para o negativo.
Uma vez que o fluxo de "buracos" ocorre em velocidade igual e oposta à do fluxo de elétrons, ambos sofrem o mesmo efeito relativístico de contração do ponto de vista de um observador parado, e o fio continua parecendo eletricamente neutro para ele.
O fato do campo magnético ser conversível para um campo elétrico para um observador em movimento não quer dizer que o campo elétrico seja a "coisa real" enquanto o campo magnético é apenas um efeito relativístico. As duas forças são na verdade manifestações de uma coisa só, o eletromagnetismo.