Site menu 2+2=5

2020.09.01

Este artigo expressa a opinião do autor na época da sua redação. Não há qualquer garantia de exatidão, ineditismo ou atualidade nos conteúdos. É proibida a cópia na íntegra. A citação de trechos é permitida mediante referência ao autor e este sítio de origem.

É curioso como os ativistas barulhentos ganham essa aura de imunidade. Uma ativista do BLM diz que pessoas brancas são defeitos genéticos, e logo outro idiota assina embaixo, dizendo que gente branca não tem lugar de fala para considerar absurdo esse evidente absurdo.

Noutro dia, um outro ativista disse que colocar 2+2=4 como uma verdade absoluta é uma forma de opressão cultural. Que a equação só é verdadeira de um ponto de vista branco e ocidental. (Muhammad al-Khwarizmi deve ter virado no túmulo.) Alguns tentaram defender esta posição no Twitter, a meu ver usando argumentos muito fracos e.g. invocando sistemas não-decimais.

Outros invocaram a famigerada apropriação cultural, que usar símbolos arábicos para impor uma verdade branca é feio e tal. (Na verdade o sistema decimal posicional foi criado na Índia; al-Khwarizmi foi o responsável por difundí-la na direção oeste.)

Esta equação elementar me lembra algo que tenho repetido com alguma freqüência nos últimos meses, por conta da política local. Se um comunista me diz que 2+2=4, e um conservador me diz que 2+2=5, eu fico com o primeiro. Não vou tolerar anti-intelectualismo só porque existem intelectualóides. No lugar do "2+2=5", substitua por "acredita que o Sol gira em torno da Terra", "acredita em Terra plana", "acredita na cloroquina"... acho que deu pra entender, né?

Uma interpretação benevolente da associação de 2+2=4 à cultura ocidental, é que de fato a nossa cultura matemática valoriza mais certos objetos em detrimento de outros.

Por exemplo, a análise, o cálculo, a matemática do contínuo tem mais "audiência" nos bancos escolares que a matemática discreta. O medir é mais valorizado que o contar. Toda graduação em exatas tem cadeiras de cálculo; eu me formei contador e tive aulas de cálculo, e ainda não sei por quê. Mesmo no campo da engenharia de software é difícil pensar numa situação em que seja preciso saber cálculo. Um computador é uma máquina composta unicamente de estados discretos.

Ok, admito, o cálculo foi uma grande conquista da humanidade pela sua capacidade de modelar fenômenos físicos. Newton e Leibniz eram famosos e admirados em sua época, como hoje são Steve Jobs ou Elon Musk. E talvez seja por isso que o cálculo tenha até hoje esse peso desproporcional nos currículos — porque os pais fundadores do cálculo viveram e morreram como pessoas respeitáveis, enquanto os pilares da matemática discreta tiveram vidas trágicas (Galois duelou por rixa política, morrendo aos 20; Abel morreu aos 27 de tuberculose; Cantor passou pelo manicômio, por depressivo; Gödel ficou louco de pedra; e por aí vai).

Dito tudo isso, vamos aceitar a provocação e analisar por que consideramos que 2+2 é igual a 4, e em que situações 2+2 poderia ser igual a 5. Por que você precisa saber justificar 2+2=4 para então ter moral e imaginar situações onde 2+2=5. Fumar um baseado e sair falando que 2+2=5 não faz de você um intelectual :) E todo mundo sabe que matemáticos de verdade usam drogas estimulantes (Erdös era viciado em café e benzedrina).

Em primeiro lugar, precisamos definir o que é 2 ou "dois". No contexto dos axiomas de Peano, é simplesmente o segundo sucessor do número zero. A definição de "quatro" é análoga. Poderíamos usar outros símbolos para representar 2 e 4, mas isto não muda a essência. Por ora, definimos "zero" apenas como o primeiro número natural, que não é sucessor de nenhum outro. A discussão sobre quanto o zero vale, fica para depois.

Agora, definimos o que é "igual" ou "=". Existe toda uma família de relações de equivalência. Qualquer uma delas pode ser adotada como nossa definição de "igual". Para ser de equivalência, uma relação deve ser

É possível desenvolver uma relação bem relaxada de equivalência, por exemplo, a=b se ambos são pares ou ambos são ímpares. Não parece muito útil, mas coincide com a definição de igualdade numa aritmética módulo 2.

Na definição de Peano para "=", dois números naturais equivalentes são mesmo iguais. Mas é fácil achar outros casos onde igualdade e equivalência divergem. Por exemplo, 500 centavos equivalem a 5 reais, mas não são iguais (se discorda, tente pagar um automóvel com moedas de centavos).

Em frações, 2/3 é equivalente, mas não igual, a 4/6. A relação de equivalência para frações é a seguinte: a/b=c/d se a.d = b.c, onde a,b,c,d são números naturais. Esta relação particiona o campo dos racionais em inúmeros subconjuntos, todos do mesmo tamanho, cada um contendo uma coleção infinita de frações equivalentes (exemplo: 2/3, 4/6, 6/9, 8/12...). Em cada subconjunto, a fração com numerador e denominador relativamente primos (exemplo: 2/3) é a forma canônica da fração, que gera todas as demais.

Também se pode adicionar um requisito a mais para fazer a equivalência mais estanque, mais próxima da definição literal de igualdade. Segundo Leibniz, se x=y, então P(x)=P(y) onde P() é qualquer função imaginável. Pelo menos em se tratando de campos infinitos, este requisito bane qualquer definição "engraçadinha" de equivalência (e.g. dizer que números pares são todos "iguais") enquanto admite definições sensatas (e.g. 2/3=4/6).

Finalmente, podemos discutir o que significa "somar". O primeiro axioma de Peano para adição é

a + 0 = a

significando que zero não acrescenta nada, é o elemento neutro da adição. É apenas devido a este axioma que podemos dizer que zero não vale nada. O outro axioma é

a + S(b) = S(a + b)

onde S(x) é a função sucessora, por exemplo S(0)=1. Para mim este é o axioma mais profundo de Peano. É mais fácil enxergar como ele funciona na prática:

2 + 2 = ?
se 2=S(1), então
2 + S(1) = S(2 + 1)
se 1=S(0), então
2 + S(S(0)) = S(2 + S(0))
2 + S(S(0)) = S(S(2 + 0))
usando o axioma do zero,
2 + S(S(0)) = S(S(2))
2 + S(S(0)) = 4

Também podemos provar, unicamente com base nos axiomas, que a soma é associativa e comutativa.

Claro, poderíamos definir a operação binária "soma" de alguma outra forma, que talvez nem seja comutativa. Mas antes, podemos discutir se a definição de Peano para "soma" é válida de um ponto de vista teleológico. A teleologia mede a ação por sua conseqüência ou utilidade. "A árvore se conhece pelos frutos" (Lucas 6:44).

Peano é teleologicamente válido, pois reflete o que acontece na realidade material. Se eu tenho um armário vazio (e defino isso como "zero", pois não há estado "mais vazio" que este), coloco 2 latas de comida lá dentro, fecho, abro, coloco outros 3 latas, fecho, abro de novo, vou constatar que há 5 latas dentro do armário. Se repetir a experiência, inserindo 3 latas e depois 2, novamente termino com 5 latas.

Mesmo que você tente argumentar que o resultado final poderia ser algo diferente de 5, seu estômago sabe muito bem que 2+3 latas significam 5 refeições, e um armário vazio significa passar fome. (Neste caso, fumar um baseado favorece o pragmatismo e prejudica a tergiversação, devido à larica.)

Uma coisa que não funciona é adicionar um axioma novo e conflitante a Peano, por exemplo prescrever que 2+2=5. Isto permitiria "provar" que S4(0)=S5(0), abrindo a porta para 0=1, x=S(x), e concluiríamos que a função sucessora S(x) é inócua e todos os números são na verdade iguais.

Mas sim, sob um outro conjunto de axiomas, podemos imaginar uma operação binária que se comporte diferente da soma, e que não seja comutativa. Por exemplo, se imaginarmos um triângulo transparente com as pontas numeradas, e os movimentos básicos de girá-lo (r, "rotação") e virar pela ponta de cima (f, "flip"):

Figura 1: Grupo S3 ou D3, formado pelos movimentos de um triângulo

Dá para ver logo que este grupo não é comutativo. Fazer f+r (virar pela ponta, e girar em seguida) dá um resultado diferente de r+f (girar e então virar pela ponta). A bem da verdade, grupos não-comutativos costumam usar a notação de "multiplicação", então seria f.r e r.f. A notação de "soma" é mais usada em grupos comutativos.

Há muitas identidades interessantes que podemos extrair, como por exemplo r2=r-1 (girar duas vezes é o mesmo que girar uma vez ao contrário) e r2f=fr (dois caminhos diferentes para chegar num mesmo triângulo) e por aí vai.

Coincide aqui que podemos reciclar as ações, usando-as para rotular as seis possíveis posições do triângulo (em amarelo). Por exemplo, "r" é a operação de rotação representada pelas setas azuis, mas também é o nome do triângulo que obtemos quando partimos do triângulo original "e" e aplicamos a rotação uma vez. O triângulo "e" faz o papel de elemento neutro nesta aritmética bizarra.

Outra opção seria rotular os triângulos lendo os números no sentido horário, por exemplo a identidade seria (123), a primeira rotação seria (312), etc. Neste caso teríamos uma notação para os estados e outra para as ações (r, f). e a notação total ficaria menos prática, algo como f(r(123))=(321). Em vez de operação binária, seria uma composição de funções, que tem de ser interpretada de dentro para fora.

Apesar de ser uma álgebra diferente da aritmética, ela tem uma ordem, uma estética, além de ser válida do ponto de vista teleológico (triângulos existem no mundo real, e são bem úteis). Para não repetir todo o argumento de novo, no final deste artigo sobre Peano a gente abordou a questão dos grupos — que ao criar um grupo novo, parece que há liberdade infinita, mas basta inserir um ou dois itens, e o grupo rapidamente coagula e ganha forma rígida.

É o mesmo que acontece com os axiomas de Peano, um conjunto aparentemente bobo de regras do qual emerge toda a aritmética dos números inteiros.

Aliás, se considerarmos que dois grupos de mesma forma são "iguais" (isomórficos), as possibilidades de como organizar um grupo são bem limitadas, e são todas conhecidas. Existem diferentes ordens, às vezes chamamos de desordem a ordem que não queremos.

Vamos tentar criar um grupo finito mod 10 em que 2+2=5, mantendo a adição comutativa, o zero como elemento neutro, e 5+5=0 (mod 10), 5 é um elemento de ordem 2 e é o seu próprio inverso. Porém 2+2+2+2=0, e 2 seria um elemento de ordem 4, o que já é sabido que não funciona num grupo — a ordem de um elemento tem de dividir o tamanho do grupo (10). Mas você pode insistir, até aceitar que nunca vai "fechar" este grupo.

Note que em nenhum momento consideramos o quanto vale 2 ou 5; apenas a sua relação com o tamanho do grupo e com o elemento neutro. Nem tampouco estamos considerando o significado prático da operação de soma. Mesmo assim já deu bolo.

Já num grupo mod 11, todos os elementos não-neutros têm ordem 11. Aí podemos fazer 2+2=5 porque nem 5 nem 2 têm uma relação próxima com 11 (5x11=2x11=0 mod 11). Porém, se 5+6=0, não podemos mais considerar que 2+2+2=6, do contrário (2+2)+(2+2+2)=0, fazendo de "2" um elemento de ordem 5, proibido. O "seis" tem de ser equivalente a nove vezes 2, assim como "cinco" foi definido como duas vezes 2...

Este raciocínio pode ser levado até o final, mas o resultado é simplesmente uma versão da aritmética modular com os símbolos embaralhados. Continuará havendo uma relação 1:1 entre os símbolos de um grupo "tradicional" e o nosso gruipo "progressista". Em particular, se 2 vale o mesmo nos dois grupos, fatalmente o 5 do grupo "progressista" fará o mesmo papel do 4 do grupo tradicional, o novo-6 funciona igual ao velho-7, e assim por diante. Não se criou algo realmente novo.