Dinâmica e o telhado da casa

Esta página é meio que uma continuação do texto Dificuldades com dinâmica onde mencionei alguns fatores por que alunos têm dificuldades com Física na escola, em particular com Dinâmica.

Lá, apontei dois grandes culpados: os professores que apenas repetem o que aprenderam sem realmente entenderem do assunto nem tentarem mostrar as implicações práticas; e o fato do ser humano não ser capaz de perceber força diretamente. Percebemos torque (força aplicada sobre uma alavanca) e pressão (força aplicada sobre uma área), que são manifestações indiretas de uma força.

Vou dar quatro exemplos, nenhum deles complicado, que quiçá ressuscitem o interesse do leitor no assunto.

O varal de roupa

Quem já esticou um varal de roupa sabe que, por mais que se puxe e estique a corda, ela sempre cede assim que penduramos uma peça de roupa.

Da mesma forma, os cabos de uma linha de alta tensão sempre formam catenárias — aquelas curvas que se parecem com parábolas. Isso não é falta de tensionamento do cabo. Simplesmente acontece porque eles pesam muito. Esticar a ponto de fazer sumir a catenária exigiria uma tensão absurda de esticamento.

No ensino médio, aprendemos que se pode desmembrar uma força F em duas componentes: uma horizontal Fx, e outra vertical Fy, e tratá-las de forma separada, como se uma não tivesse relação nenhuma com a outra. O varal de roupa é o exemplo mais simples possível desse desmembramento atuando na prática.

Explico: por mais esticado que esteja o varal, a tensão da corda (F) atua apenas no sentido horizontal (Fx). Um varal esticado reto não produz nenhuma força no sentido vertical (Fy), que é quem realmente sustenta a roupa acima do chão.

Figura 1: Varal com peso pendurado no meio. A força correspondente ao peso P tem de ser contrabalançada pela componente vertical Fy da tensão da corda, que só existe quando ela não está perfeitamente horizontal.

Ou seja, um varal sempre vai ceder assim que receber uma roupa com peso P. Quando a corda cede, a força de tensão F passa a atuar num certo ângulo diferente do horizontal, e aí sim parte da força F vai aparecer na componente vertical Fy.

O ângulo aumenta ate que Fy possua valor igual e oposto a P, suficiente para sustentar o peso P. Naturalmente, quanto mais esticado o varal, melhor, pois menor o ângulo necessário para atingir o equilíbrio.

Mas a tensão necessária na corda do varal é sempre muito do que o peso da roupa, pelo menos para um varal estendido horizontalmente. Esta parte é contra-intuitiva. Se você usasse uma roldana e um contrapeso para provocar tensão, o contrapeso teria de ser sempre muito mais pesado que a roupa molhada.

A mão-francesa

Acho que todo mundo sabe instintivamente que uma viga ou prateleira fina não sustenta peso, que ela precisa de um braço por baixo, formando a famosa mão-francesa. Mas por que isso? Este é um caso em que o torque é importante.

Imagine uma prateleira funda, sem mão-francesa, presa apenas na parede por uma dobradiça na parte superior. Imagine que essa prateleira tem 2cm de espessura e 50cm de profundidade. Se colocarmos um objeto de 10kg na sua extremidade, esse peso provoca um torque de 100N x 0.5 = 50Nm, que tende a derrubar a prateleira, girando-a para baixo na dobradiça.

A única coisa que impede a preteleira de tombar é a parte de baixo, que encosta na parede e faz pressão contra ela. Porém, como a prateleira só tem 2cm de espessura, o braço de alavanca é de apenas 2cm. Para produzir o torque igual e contrário, a força exercida sobre a parede é 50Nm / 0.02 = 2500N ou 250kg.

Figura 2: Prateleira presa unicamente por uma dobradiça (círculo vermelho). A única coisa que impede a prateleira de tombar é a pressão da parte de baixo da prateleira sobre a parede.

Provavelmente uma força dessa magnitude, aplicada sobre um ponto muito pequeno, causaria danos ao acabamento da parede, ou à própria parede, ou à própria prateleira. E, se a prateleira fosse mais fina, o problema seria ainda pior.

Para resolver o problema, recorremos à mão-francesa, que simplesmente aumenta o braço de torque de reação. No caso acima, uma mão-francesa de 25cm de altura reduz a força sobre a parede para 50Nm / 0.2 = 250N ou 25kg, bem mais suportável.

Figura 3: Prateleira com mão-francesa. O torque provocado pelo peso P sobre a prateleira é o mesmo, porém a força que esse torque causa sobre a parede foi diminuído.

A viga estrutural

A questão do torque permanece importante numa viga estrutural, de construção. Quanto maior o vão livre da viga, mais ela sofre, dada uma mesma carga.

Ao colocarmos um objeto pesado bem no meio da viga, geramos um torque considerável, que precisa ser contrabalançado em algum lugar. Por exemplo, numa viga de 5m de vão, se colocarmos um objeto de 100kg bem no meio, temos um torque de 1000N x 2.5m = 2500Nm. (Se o vão livre fosse o dobro, o torque seria o dobro.)

Figura 4: Viga apoiada. Um peso P no meio do vão livre provoca um torque, que provoca uma grande tração na parte inferior da viga, de magnitude muito maior que P. A viga resiste se a) ela for alta o suficiente para diminuir o torque, e b) o material tiver suficiente resistência à tração.

No caso da viga, esse torque não vai pressionar as paredes que sustentam a viga, até porque normalmente uma viga está verticalmente apoiada nas extremidades, e esse apoio não tem nenhuma capacidade de fornecer o torque contrário.

O que vai acontecer então é que o esforço do peso vai tentar romper a viga por baixo. Se, no exemplo acima, a viga tiver 25cm de altura, a parte de baixo dela será tensionda em 2500Nm / 0.25 = 10000N ou 1000kgf de força.

Obviamente, uma viga bem dimensionada não vai romper, mas vai resistir à tração na parte de baixo. Observe que a altura da viga é análoga à mão-francesa da prateleira. Quanto mais alta a viga, menor a tensão causada embaixo dela dada uma mesma carga, e maior a sua capacidade de sustentação.

Além da viga ser alta, ela deve ser feita de material resistente à tração. Cimento puro resiste apenas à compressão. Por isso, vigas de concreto possuem armação de ferro. O vergalhão GG50 resiste a uma tração de cinco toneladas por cm².

Este modelo é uma simplificação grosseira; uma viga divide a carga em forças de compressão na parte de cima e tensão na parte de baixo, mas a ideia é demonstrar por que a sua casa ainda não caiu sobre a sua cabeça enquanto você dorme :)

A tesoura do telhado

O telhado de uma casa tradicional é triangular, sustentado por treliças de madeira denominadas "tesouras". Segundo este professor, a tesoura foi inventada pelos árabes, pelo prosaico motivo de eles não terem madeira em abundância, então tinham de usar bem o pouco que havia.

É um dos exemplos mais simples de estrutura em treliça, ou seja, formada por triângulos. O triângulo tem uma propriedade importante: ele é rígido por si só, mesmo que as pontas possam girar livremente, como dobradiças.

A maioria das pessoas, e mesmo muitos carpinteiros, não sabem como a tesoura funciona. Os banzos superiores suportam diretamente o peso das telhas. Uma vez que eles são inclinados, a carga cria uma componente horizontal Fx. A tendência do telhado é "escorregar" para fora da parede, descer e abrir o ângulo.

Figura 5: Banzos superiores, formando um telhado inclinado. O peso do telhado possui duas componentes: Fy (vertical) que é suportada pelas paredes, e Fx (horizontal) que no desenho acima está sem controle.

Para manter o telhado no lugar, temos o banzo inferior, que literalmente segura as pontas, e fecha o triângulo. Isto significa que, contra-intuitivamente, o banzo inferior está sob tensão, não sob compressão. Em algumas técnicas construtivas, como galpões industriais, ele é substituído por um cabo de aço.

Figura 6: Adição do banzo inferior, formando um triângulo completo. O banzo inferior trabalha sob tensão, suportando a força Fx (horizontal) gerada pelo peso do telhado.

O banzo inferior pode ser muito longo, e tende a vergar pelo próprio peso. Para evitar isso, temos o pendural central. A função do pendural central não é ajudar a sustentar o peso da cumeeira, mas sim puxar o banzo inferior para cima, evitando que vergue.

Portanto, o pendural central também fica sob tensão, não sob compressão.

Figura 7: Adição do pendural central, que existe para sustentar o peso próprio do banzo inferior. Ele não ajuda, ou não deveria ajudar, a sustentar o peso do telhado!

Se o pendural central puxa o telhado para baixo, como se ele tivesse ficado mais pesado, isso aumenta a carga sobre os banzos superiores, que descarregam mais peso nos apoios e esticam mais o banzo inferior. A carga não desaparece, é apenas transmitida para onde ela não causa problemas.

Os banzos superiores também são longos e podem vergar. A mão-francesa principal, que se conecta ao pendural central ajuda a sustentá-los. Uma vez que temos mãos-francesas de ambos os lados do pendural central, as forças de compressão que elas exercem no sentido horizontal (Fx) cancelam-se.

Figura 8: Adição das mão-francesas principais, que evitam que os banzos superiores se deformem, além de aumentar a rigidez da estrutura como um todo.

Na figura acima, notamos que as mãos-francesas apóiam-se unicamente no pendural central. Isto é importante, para que elas sejam unicamente sustentadas pela tração do pendural central.

Se as mãos-francesas forem apoiadas no banzo inferior, mesmo parcialmente, o banzo inferior fica sujeito a forças de compressão, quando deveria sofrer apenas tração. Diferentes trechos do banzo inferior estariam sujeitas a diferentes forças. A estrutura poderia trabalhar de formas inesperadas.

Podemos adicionar mais e mais mãos-francesas na tesoura, a fim de sustentar melhor os banzos superiores. E quanto mais triângulos a treliça possuir, mais rígida e resistente ela será, para uma mesma quantidade de material.

Podemos calcular treliças onde certos elementos estão sujeitos apenas à tensão (como no caso do banzo inferior), e para estes elementos podemos usar materiais que suportam apenas tensão, como cabos ou cordas. Ou mesmo papel, como fazemos em modelismo (pontes de papel-cartão ou palitos de picolé).