Site menu Curvas de Lamé e o Último Teorema de Fermat
e-mail icon
Site menu

Curvas de Lamé e o Último Teorema de Fermat

e-mail icon

Desta vez vamos colocar a diversão na frente do trabalho. O applet abaixo traça curvas de Lamé, também conhecidas como superelipses. Brinque com os números e veja se consegue achar algumas formas interessantes.

Expoente A
Aspecto
Girar º
Expoente B
Forçar A = B

Da próxima vez que você precisa desenhar um ícone, um logo, ou simplesmente precisar de uma forma geomética, estas curvas podem ser uma boa fonte de inspiração. Particularmente atraentes são os "quadrados de cantos arredondados" produzidos por expoentes acima de 2. É possível usar expoentes não-inteiros....

As curvas de Lamé originais obedecem à seguinte fórmula paramétrica:

x^a + y^a = 1

Para quem lembra das aulas de trigonometria, uma curva de Lamé de expoente 2 é simplesmente a fórmula do círculo. No applet, implementamos algumas extensões como a possibilidade de usar dois expoentes diferentes, bem como mudança de aspecto e rotação da figura.

Lamé também foi um dos tantos matemáticos que tentou provar ou refutar o Último Teorema de Fermat. Certamente as Curvas de Lamé foram consideradas neste contexto. O teorema diz que, na fórmula

a^n + b^n = c^n

não existem números inteiros diferentes de zero (a, b, c) que satisfaçam a equação para expoentes inteiros maiores que 2. No caso específico do expoente 2, cada trinca de números inteiros que satisfaz a equação é conhecida por "trinca pitagoriana" (exemplo: 3, 4, 5) e existem infinitas delas.

Se admitirmos expoentes não-inteiros, negativos, fracionários, etc. então existem algumas soluções para expoentes diferentes de 2. Este artigo científico lista algumas delas. Também existem soluções baseadas em expoentes irracionais.

Basta uma manipulação simples (jogar c para o lado esquerdo) para que a equação de Fermat vire a curva de Lamé.

x^a + y^a = 1

O teorema de Fermat refraseado para esta forma diria o seguinte: não existem dois números racionais (i.e. formados pela divisão de dois inteiros) diferentes de zero que satisfaçam a equação acima — salvo se o expoente for 2.

Fora os "quatro pontos cardeais" onde x ou y são zero, nenhum ponto da figura traçada pelo applet pode ser um par de números racionais. Pelo menos um dos dois números tem de ser irracional.

Algo semelhante acontece com o número de Euler: todo expoente racional do número "e" é irracional, e todo número racional possui obrigatoriamente um logaritmo natural irracional. (O contrário não é verdadeiro; o logaritmo da maioria dos números irracionais também é irracional.)

No caso do expoente 2, a figura é um círculo e aí temos infinitos pares de números racionais que representam pontos do círculos, gerados a partir das trincas pitagorianas. A maioria dos pontos sobre o círculo unitário ainda é composta por um ou dois números irracionais, visto que os números irracionais são mais abundantes, e alguns pontos singulares como 45º são obrigatoriamente irracionais (x e y valem a raiz de 2). Mas, ainda assim, dada a infinitude de trincas pitagorianas, o conjunto de pares racionais sobre um círculo também é infinito; então poderíamos, se quiséssemos, traçar um círculo descontínuo porém denso de pontos usando apenas coordenadas racionais.

Enfim, Lamé não conseguiu provar o Último Teorema de Fermat, mas as propriedades únicas da curva de Lamé com expoente igual a 2 (ou seja, o círculo) autorizam qualquer um a pelo menos desconfiar que o teorema é verdadeiro:

O teorema de Fermat se refere originalmente a expoentes maiores que 2. É interessante notar que as curvas de Lamé com expoente maior que 2 são perfeitamente "suaves", enquanto expoentes entre 0 e 2 geram curvas com cantos vivos. Isto sugere que são duas espécies bem diferentes de curva.

e-mail icon