Outro exemplo da importância do número de Euler
Outro exemplo da importância do número de Euler
Num primeiro artigo sobre o número de Euler, mostramos como evoluiu o conceito de potenciação. Neste artigo, pretendemos falar sobre a relação profunda entre o número 'e' e as funções trigonométricas.
Em primeiro lugar, vamos relembrar alguns fatos da vida prática. Você já reparou que...
Pois é, todos estes fatos têm íntima ligação com trigonometria. E também com o número 'e', em particular quando há processamento digital de sinais na jogada.
A qualidade de som de um telefone, ou a falta dela, tem a ver com o fato que telefone é um meio de comunicação de "banda estreita". Por isso Internet discada é lenta. Banda estreita significa que uma faixa estreita de freqüências sonoras pode passar pelo sistema telefônico — normalmente de 300Hz a 3400Hz.
Para quem não está muito acostumado a Hertz, basta dizer que 300Hz significa 300 ciclos por segundo. O tom fundamental da voz humana fica por volta deste valor — mulheres um pouco mais alto, homens um pouco mais baixo. A fundamental do Dó central do piano é quase exatamente 291Hz. A maioria dos instrumentos musiciais produz sons próximos a este número. É um som que qualquer ser humano chamaria de "médio" — nem grave nem agudo.
O gráfico abaixo sou eu pronunciando a letra "A":
Pode-se ver que é uma forma de onda periódica; um dos períodos está destacado. Cada período ocupa mais ou menos 8ms, o que significa que ele repete-se 125 vezes por segundo, portanto a fundamental da minha voz neste exemplo é de 125Hz. Bem abaixo de 300Hz porque tentei dar uma de macho e usei um tom de voz mais grave.
Mas, então, como minha voz passa pelo telefone, se qualquer som abaixo de 300Hz não pode ser transmitido? Há muita gente com voz grave por aí. O mesmo raciocínio vale para o outro lado: transmitir sons de 3400Hz parece muito alto, pois ninguém tem voz tão aguda. Um assobio agudo de doer não vai acima de 1000Hz. Talvez seja útil para a conexão à Internet, mas não para falar.
Antes de esclarecer este aparente problema, vamos visitar brevemente os outros exemplos dados. A Internet banda larga usa freqüências bem acima da normalmente usada para voz. Permitindo que sons mais agudos sejam transmitidos, pode-se aumentar a velocidade.
A rádio FM soa melhor que AM por dois motivos. Primeiro porque também usa "banda larga", só que desta vez na transmissão de rádio, não num fio telefônico. O espaçamento entre estações de FM tem de ser bem maior que entre estações AM. O outro motivo é que a codificação do sinal é mais robusta em FM, sendo mais resistente a ruídos. O "modem" FM é melhor que o "modem" AM, digamos assim.
Os alto-falantes têm tamanhos diferentes porque são, cada um deles, de banda estreita: conseguem emitir apenas um tipo de som (grave, médio, agudo) devido a suas limitações mecânicas. Assim, precisamos vários tipos para reproduzir todas as freqüências que o ser humano consegue ouvir. Um cachorro ou gato ainda acharia o som um tanto abafado pois eles conseguem ouvir ultra-sons — que os seres humanos não notam e a maioria dos aparelhos não reproduzem.
Naquele gráfico da minha voz, quando eu disse que minha voz tinha freqüência de 125Hz, eu desprezei a forma de onda da voz, que é bastante complexa, embora seja periódica.
Veja novamente a forma de onda da letra "A", e em seguida uma outra forma de onda, com minha voz pronunciando a letra "I":
Pelo eixo do tempo dá pra ver que ambos os sons estão aproximadamente na mesma "nota musical" — a onda repete-se a cada 8ms, ou 125Hz, mas a forma da onda é completamente diferente. A forma de onda dita o timbre, ou seja, a "cor" do som, que nos permite distinguir entre a voz de uma pessoa e o som de um piano ou de um violino, ou de qualquer outro instrumento.
Desta forma, continuamos concluindo que o telefone transmite freqüências muito altas de forma desnecessária. E ainda assim ele soa abafado. Afinal, qual é o problema? Poderia ser uma distorção gerada por circuitos de má qualidade?
Se gravássemos nossa voz ao telefone (depois de ter passado pelo sistema telefônico), e comparássemos a forma de onda com a voz original, notaríamos que a voz do telefone teria uma onda mais "arredondada", com alguns "detalhes" aplainados ou simplesmente ausentes.
Tal arredondamento é também causado por distorções, ou seja, defeitos, do circuito telefônico. Mas o motivo fundamental desse arredondamento é outro:
Meio físico é o material, ou mecanismo, pelo qual ocorre a transmissão ou transdução do sinal. Para um sinal sonoro, o meio físico pode ser o ar, um alto-falante e/ou um microfone. Para um sinal de luz ou de rádio, é uma onda eletromagnética (que não precisa de matéria física para se propagar). Para uma onda na água, o meio físico é a superfície aquática.
Um sinal "em movimento" está sujeito às regras e limitações do meio físico. Por outro lado, um arquivo de música no computador não está sujeito a nenhum meio físico, embora seja afetado pelas características do meio digital (teorema de Nyquist, resolução em bits).
Todo meio físico transmite energia, e informação, na forma de ondas. Mas não pode ser qualquer tipo de onda. O formato de onda da voz humana ou de qualquer instrumento musical é complexo demais para ser diretamente transmitido por um meio fisico, seja qual for.
Muito bem, mas então porque conseguimos distinguir quando alguém pronuncia "A" ou "I"? De alguma forma, a forma de onda complexa chegou aos nossos ouvidos. Está claro que o telefone causa perda de qualidade, mas "ao vivo" o som não sofre perdas. Afinal, o ar não é também um meio físico?
Bem, existe um método para que um meio físico transmita ondas complexas: desmembrar a onda complexa em ondas mais simples, que individualmente sejam tranmissíveis. Quase todas estas ondas mais simples terão freqüência diferente da fundamental original.
As diversas ondas simples são recebidas em separado pelo nosso ouvido, que é um meio físico de transdução, sujeito às mesmas limitações dos meios físicos de transmissão. É dentro do nosso cérebro que as diversas ondas simples são recombinadas.
Assim, pensamos que estamos ouvindo o som original complexo da voz ou do instrumento musical, quando na verdade estamos ouvindo múltiplos sons simples.
Não há limite de freqüência para as ondas transmitidas pelo ar, apenas o formato tem de ser "simples". Já o sistema telefônico limita também a freqüência destas ondas — como vimos, de 300Hz a 3400Hz. Sendo um meio mais limitado que o ar, alguns detalhes do som original não podem ser transmitidos pelo telefone, e esta perda é por nós percebida como som abafado.
Mas, afinal, que formato de onda pode ser transmitida por um meio físico? Até agora só dissemos que é um formato "simples".
Pois é, seno/cosseno são o tal formato "simples" que o meio físico aceita. Todas as demais formas de onda são transmitidas como uma soma de senóides de diferentes freqüências.
Mas... porque logo a senóide, uma curva difícil de traçar, que não se parece com nada? Não poderia ser a onda quadrada, ou triangular, ou qualquer coisa mais fácil?
Esta descoberta foi uma das grandes conquistas da matemática do século XVIII, logo após a descoberta do cálculo. Foi tão importante à época como foi importante a viagem à Lua para nossos pais, ou a Internet para nós. Os matemáticos envolvidos com este assunto (Leibniz, Bernoulli, Newton) eram idolatrados como hoje o são Steve Jobs e Bill Gates.
Se você se interessa minimamente por áudio, já viu uma análise de espectro. O espectro a seguir é da minha voz pronunciando "A":
A faixa realçada é da freqüência fundamental, 125Hz. Há picos em diversas outras freqüências. A soma das senóides de todas estas freqüências, cada senóide com um volume diferente (de acordo com a altura do gráfico) reconstrói a onda complexa vista nas figuras anteriores.
Esta decomposição e recomposição de uma onda complexa pode ser simulada matematicamente, utilizando-se a Transformada de Fourier. Certamente é o recurso utilizado para gerar o gráfico de espectro mais acima.
Note ainda que o conteúdo espectral mais forte está na faixa de 630Hz, apesar da fundamental ser 150Hz. Isto é típico da voz humana, e é o que permite ao telefone ser inteligível, mesmo transmitindo apenas de 300Hz para cima (o que geralmente deixa a fundamental de fora).
Então, quando você compra um aparelho de som, ou uma caixa acústica, e ela especifica a resposta em freqüência (digamos, de 100Hz a 20000Hz) isto refere-se apenas a ondas senoidais.
Aliás, ainda sobre minha pronúncia. Se repararmos na forma de onda novamente, veremos que "embutida" no período principal (em amarelo) está embutida outra onda mais "rápida" (cujo período marquei em vermelho):
É fácil ver que a onda "vermelha" é cinco vezes mais rápida que a "amarela", portanto sua freqüência deve estar em torno de 5x125 = 625Hz. Bem próximo do pico em torno de 630Hz que vimos no espectro.
Bem, e como os ilustres matemáticos descobriram que a senóide é a onda que pode ser transmitida?
A resposta curta: uma onda transmissível tem de ser contínua, suave, periódica e ser igual às suas próprias derivadas. Apenas a função senóide atende a todos estes requisitos.
A função exponencial ex quase atende aos requisitos, só não é periódica. Ou talvez seja? :) Veremos isto adiante.
Todo meio físico de trasmissão é constituído de duas grandezas antagônicas. O exemplo mais clássico é o sistema massa-mola: o peso puxa a mola para baixo, a mola puxa o peso para cima. É a energia potencial gravitacional do peso contra a energia elástica da mola. Outro exemplo clássico é o pêndulo (velocidade versus altura).
O som se propaga no ar pelo antagonismo entre a pressão do ar (que age como uma mola) e seu peso. A onda se propaga no mar pelo antagonismo entre o peso da água e sua tensão superficial. A corda do violão absorve a palhetada pois tem peso (e portanto absorve energia cinética), mas é retida pelo esticamento.
A luz e as ondas de rádio, sendo ondas eletromagnéticas, também se propagam por este mecanismo, mas neste caso não envolve matéria, e sim energia. A variação de um campo magnético produz um campo elétrico. A variação de um campo elétrico produz um campo magnético. Os dois conseguem "alimentar-se" mutuamente, e desta forma viajam pelo espaço sem precisar de matéria como apoio.
Os exemplos abundam. Resta saber que forma de onda consegue se propagar nestes meios. Note que a variação de uma grandeza alimenta a outra. O pêndulo é empurrado para baixo pelo seu peso, e isto faz sua velocidade aumentar. A variação da altura alimenta sua velocidade.
Essa alimentação ocorre também no sentido inverso: a velocidade do pêndulo permite que ele suba. E na medida em que sobe, perde velocidade. A variação (negativa) da velocidade aumenta a altura.
Como a "fonte de alimentação" das duas grandezas é semelhante, podemos supor que a onda descrita pela velocidade seja a mesma descrita pela altura do pêndulo, diferenciadas apenas por uma defasagem.
Também podemos dizer que a função tem de ser periódica, afinal o pêndulo oscila indefinidamente, sem sair do lugar. A função também tem de ser contínua e suave, porque o pêndulo executa seu movimento de forma suave, sem "saltos". E permanece balançando até sua energia acabar, ele não pára abruptamente à meia-noite ou meio-dia ou em qualquer outro momento arbitrário.
Voltando ao exemplo massa-mola, que é mais simples que o pêndulo. Para o peso perder energia e a mola ganhá-la, e vice-versa, o peso precisa estar em movimento (balançando). O sistema massa-mola só possui energia enquanto estiver oscilando.
Juntando todos os fatos, chegamos a uma equação diferencial que determina que apenas uma onda senóide é viável. Segue uma dedução simplificada:
p = massa (em kg) do peso do sistema massa-mola g = constante gravitacional k = constante da mola d = posição da masssa, no sentido vertical (positivo = para cima) v = velocidade de oscilação da massa a = aceleração da oscilação da massa v = d' (velocidade é a derivada da posição) a = v' = d'' (aceleração é a segunda derivada da posição) Ache a função d = f(t), ou seja, posição do peso em função do tempo Forças atuando sobre o peso: mola (puxando para cima ou empurrando para baixo) e o peso da massa (puxando sempre para baixo), e pela nossa convenção, "para baixo" é negativo: F = k.d - p.g Num sistema em respouso, F = 0 a força da mola e do peso têm de ser iguais e opostas: 0 = k.d0 - p.g O peso tem de esticar levemente a mola para baixo (d0) para gerar a força suficiente para contrabalançar o peso. Tanto d0 quanto k são negativos, enquanto p e g são positivos. A derivada (variação) da força atuando sobre o peso é F' = k.d' O peso do peso (p.g) não aparece na derivada pois é uma constante. (Desculpe o pleonasmo.) A fórmula da derivada nos diz que F' é proporcional à variação da posição. Isto é o mesmo que dizer que F' é proporcional à velocidade de oscilação. Considerando que k é negativo, F' ~= -v Porém, também é verdade que a aceleração do peso é função unicamente da força que atua sobre ele, e portanto proporcional a ela: a = F/p a ~= F a' ~= F' (derivada da equação anterior) a' ~= -v (pois F' ~= -v) A aceleração é derivada da velocidade, mas no sistema massa-mola a derivada da aceleração é a velocidade (na verdade, o negativo da velocidade). Temos aqui uma cobra mordendo o próprio rabo, com duas grandezas distintas, sendo uma derivada da outra. Portanto, a segunda derivada da velocidade é proporcional a ela mesma: v'' ~= -v (pois a = v') Extraindo a segunda derivada dos dois lados: (v'')'' ~= (-v)'' v'''' ~= -(v'') v'''' ~= -(-v) (pois v'' ~= -v) v'''' ~= v Ou seja, se existe uma função g(t) para a velocidade, ela é proporcional à sua própria quarta derivada. Além disso, d = f(t) v = g(t) = f'(t) [f'(t)] ~= [f'(t)]'''' f(t)' ~= f'''''(t) f(t) ~= f''''(t) A função f(t), que estamos procurando, é determinada pela mesma equação diferencial, portanto f(t) e g(t) são a mesma função, exceto por uma defasagem no tempo: g(t) ~= f(t + ∆) E como g(t) é a primeira derivada de f(t), temos que a primeira derivada de f(t) é proporcional a uma versão defasada de si mesma: f'(t) ~= f(t + ∆) e o mesmo vale para a segunda e terceira derivadas, e no caso da quarta derivada, temos que f''''(t) ~= f(t) f''''(t) ~= f(t + 4∆) portanto um deslocamento de 4∆ tem de ser inócuo, caracterizando uma função periódica no tempo. A única função que atende a esses requisitos é a senoidal: sin(x) sin'(x) = cos(x) = sin(x + 90 graus) sin''(x) = cos'(x) = -sin(x) = sin(x + 180) sin'''(x) = cos''(x) = -sin'(x) = -cos(x) = sin(x + 270) sin''''(x) = cos'''(x) = -sin''(x) = -cos'(x) = sin(x) sin''''(x) = sin(x + 360) = sin(x)
Além da senóide, uma outra função que atenderia aos requisitos é a função constante f(x) = 0. Todas as derivadas desta função também são iguais a ela mesma (ou seja, iguais a zero). É a solução para o sistema massa-mola em repouso; uma solução válida mas trivial, não muito útil.
Como eu disse antes, a função exponencial, que envolve o numero "e", chega perto de atender aos requisitos, já que ex é igual à sua derivada. Olha o número de Euler aparecendo...
Parece um candidato interessante, exceto que precisamos de uma função periódica no tempo. A função exponencial tende ao infinito ou tende a zero, e esse comportamento não modela o que acontece com um oscilador ou um pêndulo.
Mas o número de Euler não vai ficar de fora assim tão facilmente. Vamos recomeçar, com a equação diferencial mais rudimentar possível:
f(x) = f'(x)
As únicas soluções possíveis são f(x)=0 e f(x)=exp(x), pois a derivada de 0 é 0, e [exp(x)]'=exp(x).
Agora, considere a seguinte equação diferencial:
f(0) = 90 f'(t) = -(f(t) - 20)
Ela nos diz que a derivada ou taxa de variação de f(t) é igual à própria função f(t), porém negativa e descontada por uma constante. O valor inicial no momento t=0 é igual a 90.
Esta equação diferencial, com esta condição inicial, expressa perfeitamente o que acontece com uma xícara de café. Ela começa quente, a 90 graus. A taxa de variação de temperatura é negativa, e o café vai esfriar. Porém a taxa de resfriamento é proporcional à própria temperatura do café. Estando quente, esfria rápido. Estando morno, demora muito mais para chegar na temperatura ambiente (20 graus). Atingindo a temperatura ambiente, não muda mais.
A solução desta equação diferencial deve ser alguma função exponencial, visto que a função tem uma relação de igualdade com sua própria derivada:
f'(t) = -(f(t) - 20) f'(t) = -f(t) + 20 -f'(t) = f(t) + 20 considerando que [exp(-t)]' = -exp(-t), a solução tem de envolver uma exponencial negativa, e de fato a solução é f(t) = 70.exp(-t) + 20
A exponencial negativa modela corretamente o que acontece com o café: começa quente, esfria rápido, depois cada vez mais devagar, de forma irreversível.
Agora, vejamos aquela equação diferencial que descreve o oscilador massa-mola:
f''(t) = -f(t) f''(t) = (-1).f(t)
Se [exp(a.t)]'=a.exp(a.t), então [exp(a.t)]''=a2exp(a.t). Para encaixar este padrão na equação do oscilador, temos de fazer a2=-1, e portanto "a" é a raiz quadrada de -1, que é o número imaginário quintessencial "i":
f(t) = exp(i.t)
Como a solução da equação do oscilador tem de ser uma função periódica, temos o direito de suspeitar que a exponenciação de um número imaginário é também uma função periódica. De fato, a fórmula de Euler confirma esta suspeita:
eix = cos(x) + i.sen(x)
A fórmula de Euler tem inúmeras provas, então ela está acima de qualquer dúvida. Um dos corolários da fórmula de Euler é a famosa identidade de Euler:
eiπ + 1 = 0
Estas fórmulas mostram que, pelo menos no campo dos números complexos, há uma ligação íntima entre o número de Euler, a função exponencial, e a trigonometria. Quando o expoente é complexo, a exponenciação torna-se uma função periódica, similar a seno e cosseno.
Um problema com a solução da equação diferencial na forma eix é que ela gera uma onda complexa, mas ondas do mundo real deveriam ser expressas unicamente por números reais. Mas podemos somar exponenciações complexas para eliminar a parte imaginária:
1/2 (eix + e-ix)
= 1/2 (cos(x) + i.sen(x) + cos(-x) + i.sen(-x)) fórmula de Euler
= 1/2 (2.cos(x) + i.sen(x) + i.sen(-x) (pois cos(x) = cos(-x))
= 1/2 (2.cos(x) + i.sen(x) - i.sen(x)) (pois sen(x) = -sen(-x))
= cos(x)
Se extrairmos a derivada da fórmula acima usando as regras de diferenciação de expoentes, e então expandir o resultado pela fórmula de Euler, obteremos resultados iguais àqueles obtidos pela diferenciação de funções trigonométricas, o que inclusive ajuda a cimentar a validade da fórmula de Euler:
d((eix + e-ix)/2)
= 1/2 [ d(eix) + d(e-ix) ]
= 1/2 [ i.eix - i.e-ix ]
= 1/2 [ i.(cos(x) + i.sen(x)) - i(cos(-x) + i.sen(-x)) ]
= 1/2 [ i.cos(x) - sen(x) - (i.cos(x) - sen(-x)) ]
= 1/2 [ i.cos(x) - sen(x) - (i.cos(x) + sen(x)) ]
= 1/2 [ i.cos(x) - sen(x) - i.cos(x) - sen(x)) ]
= 1/2 [ - 2.sen(x) ]
= -sen(x)
Em resumo: