Site menu Outro exemplo da importância do número de Euler
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Outro exemplo da importância do número de Euler

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Num primeiro artigo sobre o número de Euler, mostramos como evoluiu o conceito de potenciação. Neste artigo, pretendemos falar sobre a relação profunda entre o número 'e' e as funções trigonométricas.

Em primeiro lugar, vamos relembrar alguns fatos da vida prática. Você já reparou que...

Pois é, todos estes fatos têm íntima ligação com trigonometria. E também com o número 'e', em particular quando há processamento digital de sinais na jogada.

A qualidade de som de um telefone, ou a falta dela, tem a ver com o fato que telefone é um meio de comunicação de "banda estreita". Por isso Internet discada é lenta. Banda estreita significa que uma faixa estreita de freqüências sonoras pode passar pelo sistema telefônico — normalmente de 300Hz a 3400Hz.

Para quem não está muito acostumado a Hertz, basta dizer que 300Hz significa 300 ciclos por segundo. O tom fundamental da voz humana fica por volta deste valor — mulheres um pouco mais alto, homens um pouco mais baixo. A fundamental do Dó central do piano é quase exatamente 291Hz. A maioria dos instrumentos musiciais produz sons próximos a este número. É um som que qualquer ser humano chamaria de "médio" — nem grave nem agudo.

O gráfico abaixo sou eu pronunciando a letra "A":

Pronunciando a letra A - forma de onda

Pode-se ver que é uma forma de onda periódica; um dos períodos está destacado. Cada período ocupa mais ou menos 8ms, o que significa que ele repete-se 125 vezes por segundo, portanto a fundamental da minha voz neste exemplo é de 125Hz. Bem abaixo de 300Hz porque tentei dar uma de macho e usei um tom de voz mais grave.

Mas, então, como minha voz passa pelo telefone, se qualquer som abaixo de 300Hz não pode ser transmitido? Há muita gente com voz grave por aí. O mesmo raciocínio vale para o outro lado: transmitir sons de 3400Hz parece muito alto, pois ninguém tem voz tão aguda. Um assobio agudo de doer não vai acima de 1000Hz. Talvez seja útil para a conexão à Internet, mas não para falar.

Antes de esclarecer este aparente problema, vamos visitar brevemente os outros exemplos dados. A Internet banda larga usa freqüências bem acima da normalmente usada para voz. Permitindo que sons mais agudos sejam transmitidos, pode-se aumentar a velocidade.

A rádio FM soa melhor que AM por dois motivos. Primeiro porque também usa "banda larga", só que desta vez na transmissão de rádio, não num fio telefônico. O espaçamento entre estações de FM tem de ser bem maior que entre estações AM. O outro motivo é que a codificação do sinal é mais robusta em FM, sendo mais resistente a ruídos. O "modem" FM é melhor que o "modem" AM, digamos assim.

Os alto-falantes têm tamanhos diferentes porque são, cada um deles, de banda estreita: conseguem emitir apenas um tipo de som (grave, médio, agudo) devido a suas limitações mecânicas. Assim, precisamos vários tipos para reproduzir todas as freqüências que o ser humano consegue ouvir. Um cachorro ou gato ainda acharia o som um tanto abafado pois eles conseguem ouvir ultra-sons — que os seres humanos não notam e a maioria dos aparelhos não reproduzem.

Naquele gráfico da minha voz, quando eu disse que minha voz tinha freqüência de 125Hz, eu desprezei a forma de onda da voz, que é bastante complexa, embora seja periódica.

Veja novamente a forma de onda da letra "A", e em seguida uma outra forma de onda, com minha voz pronunciando a letra "I":

Pronunciando a letra A - forma de onda
Pronunciando a letra I - forma de onda

Pelo eixo do tempo dá pra ver que ambos os sons estão aproximadamente na mesma "nota musical" — a onda repete-se a cada 8ms, ou 125Hz, mas a forma da onda é completamente diferente. A forma de onda dita o timbre, ou seja, a "cor" do som, que nos permite distinguir entre a voz de uma pessoa e o som de um piano ou de um violino, ou de qualquer outro instrumento.

Desta forma, continuamos concluindo que o telefone transmite freqüências muito altas de forma desnecessária. E ainda assim ele soa abafado. Afinal, qual é o problema? Poderia ser uma distorção gerada por circuitos de má qualidade?

Se gravássemos nossa voz ao telefone (depois de ter passado pelo sistema telefônico), e comparássemos a forma de onda com a voz original, notaríamos que a voz do telefone teria uma onda mais "arredondada", com alguns "detalhes" aplainados ou simplesmente ausentes.

Tal arredondamento é também causado por distorções, ou seja, defeitos, do circuito telefônico. Mas o motivo fundamental desse arredondamento é outro:

Meios físicos não podem transmitir qualquer forma de onda

Meio físico ou mídia é o canal ou meio de transmissão do sinal. O sinal pode ser um som, uma luz piscando, uma onda no mar, etc. O meio de transmissão pode ser o ar (para sons), o vácuo (para luzes), uma superfície de água (para ondas aquáticas) etc.

Por outro lado, um arquivo de música no computador não se caracteriza como meio físico, porque ele não está sendo transmitido ou tocado. Neste estado, o sinal de áudio não está sujeito às limitações do ar ou dos alto-falantes.

Todo meio físico transmite energia e informação como ondas. Na praia isto é mais óbvio porque as ondas são bem visíveis, e lentas (freqüência bem baixa) mas as ondas estão sempre envolvidas em transmissão de sinais.

E os meios físicos não transmitem qualquer onda. O formato de onda da voz humana ou de qualquer instrumento musical é complexo demais para ser diretamente transmitido por um meio fisico, seja qual for.

Muito bem, mas então porque conseguimos distinguir quando alguém pronuncia "A" ou "I"? De alguma forma, a forma de onda complexa chegou aos nossos ouvidos. Está claro que o telefone causa perda de qualidade, mas "ao vivo" o som não sofre perdas. Afinal, o ar não é também um meio físico?

Bem, existe um método para que um meio físico transmita ondas complexas: desmembrar a onda complexa em ondas mais simples, que individualmente sejam tranmissíveis. Quase todas estas ondas mais simples terão freqüência diferente da fundamental original.

As diversas ondas simples são recebidas em separado pelo nosso ouvido, que é um meio físico de transdução, sujeito às mesmas limitações dos meios físicos de transmissão. É dentro do nosso cérebro que as diversas ondas simples são recombinadas.

Assim, pensamos que estamos ouvindo o som original complexo da voz ou do instrumento musical, quando na verdade estamos ouvindo múltiplos sons simples.

Não há limite de freqüência para as ondas transmitidas pelo ar, apenas o formato tem de ser "simples". Já o sistema telefônico limita também a freqüência destas ondas — como vimos, de 300Hz a 3400Hz. Sendo um meio mais limitado que o ar, alguns detalhes do som original não podem ser transmitidos pelo telefone, e esta perda é por nós percebida como som abafado.

Mas, afinal, que formato de onda pode ser transmitida por um meio físico? Até agora só dissemos que é um formato "simples".

Apenas senóides podem ser transmitidas por um meio físico

Pois é, seno/cosseno são o tal formato "simples" que o meio físico aceita. Todas as demais formas de onda são transmitidas como uma soma de senóides de diferentes freqüências.

Mas... porque logo a senóide, uma curva difícil de traçar, que não se parece com nada? Não poderia ser a onda quadrada, ou triangular, ou qualquer coisa mais fácil?

Esta descoberta foi uma das grandes conquistas da matemática do século XVIII, logo após a descoberta do cálculo. Foi tão importante à época como foi importante a viagem à Lua para nossos pais, ou a Internet para nós. Os matemáticos envolvidos com este assunto (Leibniz, Bernoulli, Newton) eram idolatrados como hoje o são Steve Jobs e Bill Gates.

Se você se interessa minimamente por áudio, já viu uma análise de espectro. O espectro a seguir é da minha voz pronunciando "A":

Pronunciando a letra A - espectro

A faixa realçada é da freqüência fundamental, 125Hz. Há picos em diversas outras freqüências. A soma das senóides de todas estas freqüências, cada senóide com um volume diferente (de acordo com a altura do gráfico) reconstrói a onda complexa vista nas figuras anteriores.

Esta decomposição e recomposição de uma onda complexa pode ser simulada matematicamente, utilizando-se a Transformada de Fourier. Certamente é o recurso utilizado para gerar o gráfico de espectro mais acima.

Note ainda que o conteúdo espectral mais forte está na faixa de 630Hz, apesar da fundamental ser 150Hz. Isto é típico da voz humana, e é o que permite ao telefone ser inteligível, mesmo transmitindo apenas de 300Hz para cima (o que geralmente deixa a fundamental de fora).

Então, quando você compra um aparelho de som, ou uma caixa acústica, e ela especifica a resposta em freqüência (digamos, de 100Hz a 20000Hz) isto refere-se apenas a ondas senoidais.

Aliás, ainda sobre minha pronúncia. Se repararmos na forma de onda novamente, veremos que "embutida" no período principal (em amarelo) está embutida outra onda mais "rápida" (cujo período marquei em vermelho):

Pronunciando a letra A - forma de onda

É fácil ver que a onda "vermelha" é cinco vezes mais rápida que a "amarela", portanto sua freqüência deve estar em torno de 5x125 = 625Hz. Bem próximo do pico em torno de 630Hz que vimos no espectro.

Bem, e como os ilustres matemáticos descobriram que a senóide é a onda que pode ser transmitida?

A resposta curta: uma onda transmissível tem de ser contínua, suave, periódica e ser igual às suas próprias derivadas. Apenas uma senóide atende a estes requisitos.

A função exponencial ex quase atende aos requisitos, só não é periódica. Ou talvez seja? :) Veremos isto adiante.

Todo meio físico de trasmissão é constituído de duas grandezas antagônicas. O exemplo mais clássico é o sistema massa-mola: o peso puxa a mola para baixo, a mola puxa o peso para cima. É a energia potencial gravitacional do peso contra a energia elástica da mola. Outro exemplo clássico é o pêndulo (velocidade versus altura).

O som se propaga no ar pelo antagonismo entre a pressão do ar (que age como uma mola) e seu peso. A onda se propaga no mar pelo antagonismo entre o peso da água e sua tensão superficial. A corda do violão absorve a palhetada pois tem peso (e portanto absorve energia cinética), mas é retida pelo esticamento.

A luz e as ondas de rádio, sendo ondas eletromagnéticas, também se propagam por este mecanismo, mas neste caso não envolve matéria, e sim energia. A variação de um campo magnético produz um campo elétrico. A variação de um campo elétrico produz um campo magnético. Os dois conseguem "alimentar-se" mutuamente, e desta forma viajam pelo espaço sem precisar de matéria como apoio.

Os exemplos abundam. Resta saber que forma de onda consegue se propagar nestes meios. Note que a variação de uma grandeza alimenta a outra. O pêndulo é empurrado para baixo pelo seu peso, e isto faz sua velocidade aumentar. A variação da altura alimenta sua velocidade.

Essa alimentação ocorre também no sentido inverso: a velocidade do pêndulo permite que ele suba. E na medida em que sobe, perde velocidade. A variação (negativa) da velocidade aumenta a altura.

Como a "fonte de alimentação" das duas grandezas é semelhante, podemos supor que a onda descrita pela velocidade seja a mesma descrita pela altura do pêndulo, diferenciadas apenas por uma defasagem.

Também podemos dizer que a função tem de ser periódica, afinal o pêndulo oscila indefinidamente, sem sair do lugar. A função também tem de ser contínua e suave, porque o pêndulo executa seu movimento de forma suave, sem "saltos". E permanece balançando até sua energia acabar, ele não pára abruptamente à meia-noite ou meio-dia ou em qualquer outro momento arbitrário.

Sistema massa-mola (Fonte: USP)

Voltando ao exemplo massa-mola, que é mais simples que o pêndulo. Para o peso perder energia e a mola ganhá-la, e vice-versa, o peso precisa estar em movimento (balançando). O sistema massa-mola só possui energia enquanto estiver oscilando.

Juntando todos os fatos, chegamos a uma equação diferencial que determina que apenas uma onda senóide é viável. Segue uma dedução simplificada:

x = tempo
w = período de oscilação
k = constante da mola (quanto maior k, mais "dura" é a mola)
g = força da gravidade

p(x) = altura da massa
v(x) = energia cinética (velocidade) da massa
a(x) = aceleração sendo imprimida ao peso
m(x) = energia armazenada na mola

# se está oscilando, o peso passa pelo mesmo lugar periodicamente,
portanto a função-onda tem de ser periódica:

p(x) = p(x + w)

# O esticamento da mola depende da posição do peso
# Existe uma posição Z na qual a mola está totalmente
# comprimida (sem energia)

p(x) = Z : m(x) = 0

m(x) = k.[Z - p(x)]

# Existe uma posição do peso em que a força da mola é
# igual à força da gravidade:

p(x) = C : m(x) = -g

# A aceleração sofrida pelo peso depende da gravidade e
# do esticamento da mola. Estas forças atuam em direções
# opostas:

a(x) = m(x) - g

# Da cinemática, sabemos que aceleração é a variação da velocidade
# e que velocidade é a variação da posição:

a(x) = v'(x)
v(x) = p'(x)

# Portanto a aceleração é a derivada segunda da posição:

a(x) = p''(x)

# Porém a aceleração depende do esticamento da mola, que
# por sua vez depende da posição do peso:

a(x) = p''(x) =  m(x) - g
a(x) = p''(x) = [ k.[Z - p(x)] - g ]
a(x) = p''(x) = [ k.[Z - p(x)] + k.C ]
a(x) = p''(x) = k[Z + C - p(x)]

# Desprezando-se as constantes temos:

a(x) = p''(x) = -p(x)
a(x) = -p(x)
p''(x) = -p(x)

# Neste ponto provamos que a posição é igual à sua própria segunda
# derivada, invertida. Assim, todas as funções cinemáticas são
# derivadas umas das outras, e também delas mesmas, num ciclo
# infinito:

a(x) = v'(x)
v(x) = p'(x)
p(x) = -a(x)
a(x) = p''(x)
p(x) = -p''(x)

# As funções trigonométricas preenchem estes requisitos porque
# todas as derivadas acabam nelas mesmas:

sin(x)
sin'(x) = cos(x)
sin''(x) = cos'(x) = -sin(x)
sin'''(x) = cos''(x) = -sin'(x) = -cos(x)
sin''''(x) = cos'''(x) = -sin''(x) = -cos'(x) = sin(x)

Além da senóide, uma outra função que atenderia aos requisitos é a função constante f(x) = 0. Todas as derivadas desta função também são iguais a zero. É a solução para o sistema massa-mola em repouso; uma solução válida mas trivial, não muito útil.

Como eu disse antes, a função exponencial, que envolve o numero "e", chega perto de atender aos requisitos, já que ex é igual à sua derivada. Olha o número de Euler aparecendo...

Parece um candidato interessante, exceto que precisamos de uma função periódica no tempo. A função exponencial tende a infinito, o que certamente não descreve o comportamento real de um pêndulo ou de um oscilador.

Mas o número de Euler não vai ficar de fora assim tão facilmente.

O fato da função exponencial ser sua própria derivada indica que ela é, de alguma forma, ligada com as funções trigonométricas, muito embora não seja periódica. A primeira "prova" deste parentesco são as funções hiperbólicas, que são análogas às funções trigonométricas, embora diferentes.

Outro sintoma é a solução genérica de toda uma classe de equações diferenciais, da qual o problema massa/mola faz parte:

f(x) = eax . cos(bx + c)

Este tipo de solução aparece quando o sistema massa/mola tem um dissipador (por exemplo um amortecedor) ou um excitador. Com o amortecedor, o sistema ainda oscila, mas em movimentos cada vez mais fracos (fazendo a < 0). Na ausência de amortecedor, a=0. Se há um excitador, a>0 e o sistema oscila cada vez mais forte até (teoricamente) o infinito.

Muitas outras famílias de equações diferenciais acabam numa igualdade do tipo

f(x) = f'(x)
f(x) = f''(x)

e a solução acaba sempre recaindo sobre as escassas funções iguais às suas derivadas: seno, cosseno, exponencial, além da solução trivial f(x)=0.

O casamento final entre funções seno e exponencial vem da fórmula de Euler:

eix = cos(x) + i.sen(x)

que redunda na famosa identidade de Euler:

e + 1 = 0

Estas fórmulas mostram que, pelo menos no campo dos números complexos, há uma ligação íntima entre o número de Euler e a trigonometria. Note que, quando o expoente é complexo, a função ex vira uma função periódica, tal qual seno e cosseno.

O único problema é que números complexos são intransponíveis para o mundo real; as igualdades acima são apenas formalismos... será mesmo?

Toda onda senoidal, seja viajante ou estacionária, tem três características fundamentais: freqüência, amplitude e fase. Qualquer cálculo envolvendo ondas precisa lidar com todos os três valores. Supondo uma transformada de Fourier de resolução muito baixa, cujo resultado fosse apenas quatro ondas senoidais. Alimentamos a transformada com, digamos, um som de piano, e a saída retorna:

Freqüência   Fase (graus)   Amplitude (%)
----------   ------------   --------------
1	     0	            75%
2            90		    10%
3	     -45             5%
4            -91             1%

Esta "receita de samba", ou melhor, de onda, nos diz que

f(x) = 0.75 cos(x) + 0.10 cos(x+90) + 0.05 cos(x-45) + 0.01 cos(x-91)

vai produzir o som original do piano.

A transformada de Fourier é uma função que retorna dois valores: amplitude e fase. Lidar com funções assim é um grande problema.

Até existem alguns atalhos. O mais simples é ignorar completamente a fase. A "transformada discreta de cosseno" (DCT) faz justamente isso: é uma transformada de Fourier que ignora a fase. Muitas aplicações na área de áudio usam esta solução, pois o ouvido humano ignora diferenças de fase. Mas outras aplicações não são tão lenientes.

Temos de lembrar também que a transformada de Fourier "original" é uma transformada de funções, não de amostras. Transformada direta em cima de amostras é força bruta, é algo que podemos fazer porque temos computadores rápidos. No tempo de Fourier, nem calculadora havia, só era viável tentar transformar a função.

Assim, para uma determinada função de onda f(x), onde x representa o tempo correndo, existe uma transformada F(y) onde "y" representa a freqüência de onda senóide. Se, digamos, quisermos calcular a amplitude e fase da senóide para y=4, F(4) teria de retornar uma tupla {-91, 0.01}, e não apenas um número simples como qualquer outra função. Mas na matemática não existe esse negócio de uma função retornar uma tupla.

Outro possivel atalho é dividir a transformada em 2 funções separadas. Nesta abordagem, a transformada de f(x) nos retorna 2 funções: F(y) para amplitudde e P(y) para fase. Assim, F(4) = 0.01 e P(4) = -91. Temos tudo o que precisamos. Mas é deselegante.

O matemático Caspar Wessel colocou o Ovo de Colombo em pé. Ele observou que os números complexos na verdade são uma tupla de dois números (a+bi). Observou a fórmula de Euler. Observou algumas outras igualdades formais já conhecidas, e concluiu que as funções que envolvam ondas, como a transformada de Fourier, podem ser reescritas usando a função exponencial e números complexos.

Hoje em dia, a esmagadora maioria dos cálculos envolvendo ondas são expressos como potências complexas do número de Euler. De quando em vez, uma ou outra equação é reescrita da forma "real", como uma dupla de funções reais, apenas com fins didáticos. Para convencer o leitor que a potência complexa tem respaldo no mundo real.

Então, usando números complexos, uma transformada de Fourier tem apenas uma função F(y), que retorna apenas um valor por freqüência, mas como este valor é complexo, ele contém amplitude e fase.

Note que, para empacotar fase e amplitude, não basta construir um número complexo 0.01-91i. O número complexo armazena fase e ângulo da seguinte forma:

Portanto, os valores 0.01 e -91 graus são coordenadas polares, e os números complexos constituem coordenadas cartesianas. Isso parece meio estúpido pois parece exigir conversões freqüentes de/para coordenadas polares.

Mas existe uma forma simples de sintetizar uma onda diretamente a partir das coordenadas cartesianas. Basta fazer

f(x) = a.cos(x) + b.sen(x)

Embora não pareça óbvio, esta função pode gerar uma senóide com qualquer fase, bem como qualquer amplitude; basta dosar corretamente os multiplicadores "a" e "b". Note a semelhança com a fórmula de Euler.

Em algumas aplicações, como a própria transformada de Fourier, precisamos multiplicar um sinal por duas senóides diferentes — cos(wc.t) e -sen(wc.t) — para identificar se o sinal possui conteúdo no comprimento de onda "wc". Pela proporção detectada em cada senóide também deduzimos a fase deste conteúdo.

Em vez disso, podemos multiplicar o sinal por ei.wc.t apenas uma vez e interpretar o resultado complexo da seguinte forma: a parte real é a multiplicação por cos(wc.t), a parte imaginária é a multiplicação por sen(wc.t).

Isto permite no mínimo expressar as fórmulas de maneira mais compacta, e algumas manipulações também são mais fáceis de fazer usando exponenciação do que mexendo com seno e cosseno diretamente.

A transformada de Fourier é na verdade um caso especial da transformada de Laplace (embora Fourier tenha inventado a sua transformada antes). Ambas devem seu "poder de fogo" de simplificar expressões às propriedades únicas da função exponencial. A transformada de Fourier tem uma relação adicional com trigonometria por conta da fórmula de Euler. Isto nos permite compreender Fourier com base na nossa percepção e nas leis da física. A transformada de Laplace é mais genérica e não tem relação necessária com trigonometria.

A derivada da exponenciação complexa eix é igual a i.eix, seguindo a regra genérica d(eax) = a.eax. Isto significa que:

# Fórmula de Euler:
exp(i.x) = cos(x) + i.sen(x)

d(exp(i.x)) = i.exp(i.x) = i.[cos(x) + i.sen(x)]
d(exp(i.x)) = i.cos(x) - sen(x)

A derivada não é exatamente igual à função original (como seria na exponenciação real) mas é bem parecida.

Se considerarmos o número "x" como um ângulo em radianos, então eix devolve um número complexo a+bi, que corresponde a um vetor cartesiano (a,b) com ângulo igual a "x" e magnitude sempre 1. A derivada de eix retorna um vetor também unitário, mas com ângulo 90 graus mais avançado (x+π/2). Disto deduzimos que a segunda derivada avança 180 graus, a terceira 270 graus — e a quarta derivada 360 graus, voltando ao ângulo inicial.

Compatível com este fato, e da mesma forma que acontece com as funções seno e cosseno, a quarta derivada da exponenciação complexa é igual a ela mesma:

exp(i.x) = cos(x) + i.sen(x)
d(exp(i.x)) = i.cos(x) - sen(x)
d(d(exp(i.x)) = -cos(x) - i.sen(x)
d(d(d(exp(i.x))) = -i.cos(x) + sen(x)
d(d(d(d(exp(i.x)))) = cos(x) + i.sen(x) = exp(i.x)
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