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Equações do quinto grau

A história e os personagens da álgebra são tão interessantes quanto o próprio assunto. Dentre muitos, há Paolo Ruffini, um afamado médico e matemático amador, ignorado pelos matemáticos profissionais contemporâneos; Neils Abel, que lutou contra a pobreza e falta de reconhecimento, morrendo de pneumonia aos 26; e Evariste Galois, morto aos 20 num duelo motivado por questões nada surpreendentes: mulher e política.

A busca pelas soluções ou "raízes" de equações como a de segundo grau, no formato:

x2 + bx + c = 0

vem desde muito antes de Cristo. As raízes são os valores de "x" que fazem o polinômio valer zero, e tornam a equação acima verdadeira.

Muita coisa vem de arrasto com a busca das raízes. Começa pela melhor forma de expressar o problema no papel. Depois, a busca da melhor "metáfora" para conectar a equação com o mundo real. Equações quadráticas são naturalmente relacionadas com áreas, equações cúbicas com volumes. Daí para cima, as metáforas escasseiam.

Lembranças do ensino fundamental

Pela definição de polinômio, os coeficientes "b", "c", etc. são sempre números racionais (fracionários). Na oitava série geralmente aprendemos a equação com formato ligeiramente diferente:

ax2 + bx + c = 0

O coeficiente "a" é usado na didática para que todos os coeficientes possam ser todos inteiros. Em estudos mais avançados assume-se que os coeficientes são racionais, e o coeficiente "a" deixa de ser necessário.

Graças ao Teorema Fundamental da Álgebra, provado por Gauss, sabemos que sempre podemos expressar a equação polinomial em função das raízes, da seguinte forma:

a(x - x1)(x - x2) = 0

Na forma acima, é fácil ver que, quando "x" é igual a x1 ou igual a x2, o valor de um dos monômios entre parênteses vai a zero, e a equação toda vai a zero. Portanto, x1 e x2 são mesmo as raízes.

O coeficiente "a" é um simples fator de escala, e podemos deixá-lo de lado para simplificar ainda mais a expressão:

(x - x1)(x - x2) = 0

Multiplicando os monômios para chegar novamente num polinômio tradicional, obtemos

x2 - (x1+x2).x + (x1.x2) = 0

e fica claro que os coeficientes "b" e "c" têm relação de parentesco bem próxima com as raízes. O grande desafio, que esquentou a moringa dos matemáticos por milênios, é calcular as raízes (normalmente desconhecidas) com base nos coeficientes.

O número de raízes depende do grau da equação: 2 para segundo grau, 3 para cúbica, e assim por diante. O desafio específico dos matemáticos é achar uma fórmula fechada para as raízes, que qualquer um pode calcular com lápis e papel.

Pode ser que algumas raízes sejam complexas — se houverem, elas serão sempre aos pares. Isto significa que uma equação de grau ímpar, sempre haverá pelo menos uma raiz real; e pode haver 0, 2, 4... raízes complexas.

Se uma raiz complexa ou negativa faz sentido no mundo real, isto é outro problema. Por exemplo, a simplíssima equação abaixo:

x2 = 4

pode significar um quadrado de área 4, e a raiz da equação é a largura do quadrado. Esta equação tem soluções x1=2 e x2=-2. Mas se usamos a equação para calcular a largura de um terreno quadrado, a solução negativa deve ser desprezada.

Na sétima ou oitava série aprendemos a fórmula de Báscara para achar as raízes da equação de segundo grau:

x1, x2 = (-b +/- (b2 - 4c)1/2) / 2

Existem fórmulas fechadas semelhantes para as equações de terceiro grau (Cardano) e também para quarto grau (Ferrari) embora sejam muito mais complicadas, a ponto de na prática serem pouco utilizadas.

Já para as equações de quinto grau e acima, não existe fórmula nesse estilo. As raízes existem, mas elas não podem ser calculadas por uma fórmula simples, composta unicamente de operações aritméticas e raízes de grau até 5. É o que afirma o teorema de Abel-Ruffini, fazendo cessar uma busca de muitos séculos.

Os porquês da inexistência de tal fórmula abriram as portas de uma nova dimensão na matemática: a álgebra abstrata.

As equações de primeiro grau no formato

ax + b = 0     solução: x = b/a

têm apenas uma raiz racional, ou seja, uma fração. Note que eu usei a notação didática, conservando o coeficiente "a", de modo a deixar bem evidente que a raiz será uma fração (b/a). Para resolver equações de primeiro grau, o conjunto dos números racionais ou fracionários (Q) é suficiente.

Permutações e simetrias

Equações algébricas têm interessantes características de simetria. Vamos voltar a olhar para a humilde equação do segundo grau:

x2 + bx + c = 0

Este polinômio, assim como qualquer outro, pode ser fatorado em diversos monômios de 1º grau:

(x - x1)(x - x2) = 0

Também aprendemos a achar as raízes em função dos coeficientes, com a fórmula de Báscara:

x1, x2 = (-b +/- (b2 - 4c)1/2) / 2

Uma coisa que até foi mostrada em sala de aula, mas não foi estressada, foi a fórmula inversa, ou seja, expressar os coeficientes em função das raízes — o que é fácil fazer, embora tedioso, basta multiplicar os termos do polinômio fatorado em monômios:

-b = x1 + x2
c = x1.x2

Note que estas fórmulas, conhecidas como fórmulas de Viète, são muito mais simples que a de Báscara. Mais importante, são fórmulas simétricas. Podemos fazer qualquer permutação entre as raízes, que os resultados são sempre os mesmos. Isto vale para coeficientes de qualquer grau.

Com um pouco de esforço, podemos calcular os coeficientes da equação de terceiro grau a partir das raízes x1, x2, x3. E constatar que as fórmulas também são imunes a permutações:

x3 + bx2 + cx + d = 0

-b = x1 + x2 + x3
c = x1.x2 + x1.x3 + x2.x3
d = x1.x2.x3

Existe um certo paradoxo aqui. Achar os coeficientes em função das raízes é fácil. O resultado é obtido com fórmulas simples, simétricas, e puramente aritméticas. Por outro lado, o processo inverso — achar as raízes em função dos coeficientes — não pode se basear em fórmulas simétricas, já que há diversas raízes para encontrar. A fórmula final acaba sendo assimétrica, complicada e irracional, envolvendo raízes.

Um detalhe importantíssimo é que os coeficientes têm de ser racionais, pelo menos dentro do contexto do teorema de Abel-Ruffini. As raízes podem ser irracionais, mas quando elas são combinadas para calcular os coeficientes, a irracionalidade tem de "desaparecer".

Isto quer dizer que as raízes não podem ter qualquer valor. Por exemplo, eu não posso dizer que as raízes de uma equação de 2º grau sejam √2 e √3, pois neste caso os coeficientes ficariam sendo √2+√3 e √6. Para que os coeficientes sejam racionais, os valores das raízes têm de se relacionar. Por exemplo, √2 e -√2 produzem os coeficientes 0 e 2, que são racionais.

Quem estudou álgebra básica talvez lembre daquela regrinha: se houver soluções complexas para uma equação polinominal, elas têm de vir em pares conjugados. Por exemplo: se houver uma raiz 2+i, tem de haver outra 2-i. O motivo é o mesmo: impedir que os coeficientes tenham parte imaginária. (A propósito, "i" também é considerado um número irracional.)

No fundo, esta é a explicação básica do porquê a equação de 5º grau não tem uma fórmula de solução. Não há como fazer cinco raízes "encaixarem" para produzir coeficientes racionais, quando elas são a) irracionais e b) expressas com aritmética e radiciação.

A prova de Abel consiste em várias partes. A primeira parte consiste em provar que toda solução algébrica para uma equação de n-ésimo grau pode ser expressa na forma

x = p + R1/m + p2.R2/m + ... p(m-1).R(m-1)/m

p, p2, p3... = funções racionais dos coeficientes, grau menor que m
R = uma função irracional dos coeficientes, grau menor que m
m = número primo menor que n

Podemos encaixar facilmente as soluções de equações de 2º, 3º e 4º grau nesta forma. No caso de Báscara, m=2, então a fórmula genérica fica muito simples:

x = p + R1/2

p = -b/2
R = b2/4-c

Mas a equação de segundo grau tem duas soluções, não apenas uma. Isto é resolvido pelo fato de usarmos a raiz quadrada de R, que possui dois valores. Para obter as diversas raízes, basta multiplicar repetidamente pela raiz primitiva de 1, que no caso da raiz quadrada é apenas uma: -1.

x1 = p + (+1).R1/m
x2 = p + (-1).R1/m

Isto faz o papel do +/- da fórmula de Báscara.

Distinguimos entre a raiz "trivial" da unidade (+1) e a "primitiva" (-1). Não parece uma distinção muito informativa. Mas a coisa fica mais interessante nos graus superiores. Quando o grau é primo (2, 3, 5) todas as raízes n-ésimas primitivas da unidade são números complexos. Por exemplo, as raizes cúbicas de 1 são três, duas delas primitivas:

+1
(-1-31/2i)/2
(-1+31/2i)/2

As raízes primitivas primas são interessantes porque, conhecendo uma delas, obtemos facilmente as demais, com potenciação:

A = (-1-31/2i)/2
A2 = (-1+31/2i)/2
A3 = 1

Este truque obviamente não funcionaria se aplicado sobre a raiz trivial, já que 1n é sempre igual a 1.

Os pulos do gato

O primeiro "pulo do gato" de Abel foi provar que a função R1/m, considerada como uma caixa-preta, pode ser expressa por uma função racional das raízes. Tomando novamente o exemplo de Báscara:

R = b2-4c
-b = x1 + x2
c = x1.x2

então

R = (x12 + 2.x1.x2 + x22 - 4.x1.x2)/4
R = (x12 - 2.x1.x2 + x22)/4
R = (x1 - x2)2/4
R1/2 = (x1 - x2)/2

Note que a raiz quadrada do discriminante de Báscara vira simplesmente a diferença entre as raízes da equação. A raiz quadrada desaparece. Para encontrarmos x2, basta multiplicar R pela raiz primitiva de 1 (A=-1):

R para x2 = A.R = (-1).(x1 - x2)/2 = (x2 - x1)/2

Note que multiplicar R por -1 equivale a permutar as raízes x1 e x2. Isso parece óbvio aqui, já que trata-se apenas de multiplicar por -1. Mas este truque mantém-se para equações cúbicas, muito embora a raiz cúbica primitiva de -1 seja um número complexo.

No caso da equação de terceiro grau, as equações de resolução ficam:

x1 = p + R1/3 + p2.R2/3
x2 = p + A.R1/3 + A2p2.R2/3
x3 = p + A2R1/3 + A.p2.R2/3

Note que a equação para a raiz x1 não possui "A" (raiz cúbica primitiva de 1), enquanto as equações para as raízes x2 e x3 levam "A". Há apenas duas raízes cúbicas primitivas de 1, então só há dois arranjos possíveis, exatamente o que precisávamos.

Assim, as raízes são três, mas as raízes que envolvem "A" são apenas duas. Na equação do segundo grau, aconteceu a mesma coisa: duas raízes, apenas uma envolve -1. O mesmo vale para qualquer grau, e isto vai ser um ingrediente importante da prova de Abel.

O segundo "pulo do gato" de Abel foi este: estabelecer que a função R1/m retorne exatamente "m" valores, dadas todas as permutações possíveis das raízes.

Recapitulando então: a função R1/m, que é a espinha dorsal da solução de uma equação algébrica, é, ao mesmo tempo:

Portanto, existe uma ligação indissolúvel entre permutação (de raízes) e a multiplicidade de raízes da unidade.

Na sua versão "racional", R1/m tem de possuir uma simetria apenas parcial. Não pode ser uma função totalmente simétrica, porque assim ela retornaria sempre o mesmo valor. Ela precisa retornar exatamente "m" valores diferentes; para equações com graus primos, "m" é o grau da equação.

No caso de Báscara, tudo isto é fácil de atender, pois R1/2 tem de retornar 2 valores diferentes, para que possamos achar 2 raízes. Como só há 2 permutações possíveis, não há dúvida.

No caso das equações do 3º grau, a versão "racional" de R1/m, função das três raízes, aceita 3 parâmetros: x1, x2 e x3, o que nos dá 6 combinações possíveis. Mas a função que procuramos só pode retornar 3 valores diferentes.

Assim, segundo Abel, se existe uma função R1/m que atende aos requisitos de simetria, então existe solução para a equação de grau "m".

A prova

Se considerarmos a equação

x1 = p + R1/3 + p2.R2/3

e substituirmos R1/3 por "y", e rearranjarmos um pouco as coisas, acabamos tendo

p2.y2 - y - p - x1 = 0

que é uma equação quadrática, e "y" tem apenas duas soluções. Mas "y" é na verdade a função R1/3 que sabemos possuir três soluções.

O conflito se resolve porque a equação acima é apenas para x1. Podemos fazer manipulação semelhante para x2 e x3. Acabamos com três equações quadráticas, "y" poderia ter potencialmente seis soluções, mas sabemos que "y" só tem três valores, então haverá um compartilhamento. Dos três valores A, B, C possíveis, a primeira equação tem soluções (A,B), a segunda (B,C) e a terceira (A,C).

Mas o fato é que, de alguma forma, existe uma versão de R1/3 que tem apenas duas soluções, suficiente para satisfazer a equação quadrática acima. Generalizando, existe uma versão de R1/m que retorna (m-1) valores.

Por meio de hábeis manipulações, Abel chega a uma função desse tipo, denominada S1/n, onde n=m-1. O fato de "n" ser inferior indica que ela retorna um valor a menos. No caso da equação cúbica, se existe R1/3, também há S1/2.

Assim como R1/m, S1/n também é uma função irracional dos coeficientes, e uma função racional (aritmética) das raízes. Nesta segunda forma, os diversos valores possíveis de S1/n são obteníveis através de permutações das raízes.

A fórmula S1/n existe porque envolve permutações das raízes primitivas de 1. O número de raízes primitivas é o grau menos um. Por exemplo, a raiz quadrada de 1 tem dois valores: +1 e -1, mas apenas -1 é primitivo, enquanto +1 é trivial. Conforme elevamos a raiz primitiva ao quadrado, ao cubo, etc. obtemos um ciclo: 1, -1, 1, -1... truque que a raiz trivial +1 não faz.

Outra forma de ver a coisa: a equação cúbica x3-1=0 tem três soluções. Ela pode ser fatorada da seguinte forma:

(x-1)(x2+x+1) = 0

(Na verdade, qualquer equação xn-1=0 pode ser fatorada de forma semelhante.)

Uma das soluções é obviamente 1, que faz a primeira parte (x-1) valer zero. Esta é a raiz trivial. A segunda parte é uma equação quadrática, cujas duas soluções são complexas: 1+31/2/2 e 1-31/2/2. Note que, como elas são raízes da equação original, elas são raízes cúbicas primitivas de 1, porém seu valor contém uma raiz quadrada (não cúbica) porque determinar seu valor envolveu resolver uma equação de um grau inferior ao original.

A raiz quinta de 1 tem 4 valores primitivos, além é claro do valor trivial +1. Basta conhecer uma raiz primitiva para descobrir todas as outras, basta ir elevando ao quadrado, ao cubo, etc.

No caso da equação quíntica, S1/n tem quatro possíveis resultados, o que equivale a resolver uma equação de 4o grau. Que por sua vez vai exigir a resolução de uma equação de 3o grau, que puxa uma de 2o grau. Ou seja, se for possível resolver a equação usando apenas aritmética, isto vai acontecer através de uma cadeia de equações de grau descendente. A equação original vai sendo "desmontada".

No caso da equação cúbica, o método de Cardano transforma a equação de diversas formas até acabar numa equação do segundo grau, que já sabemos resolver com Báscara. A mesma coisa com a equação quártica: acha-se uma equação resolvente cúbica, que por sua vez tem resolvente quadrática.

No caso da equação quíntica, a função R1/m tem de retornar exatamente cinco valores diferentes para as 120 permutações possíveis das raízes, então S1/n teria de retornar quatro valores para 120 permutações das raízes.

Cauchy tinha provado que, se uma função tem "n" parâmetros e retorna menos que "n" resultados distintos, ela deve retornar ou 1, ou 2, ou "p" resultados, onde "p" é o maior primo que divide n!.

Por exemplo, uma função com 5 parâmetros pode retornar 1, 2, 5, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 ou 120 resultados diferentes, conforme os parâmetros são permutados. Mas ela nunca poderia retornar, por exemplo, 3 ou 4 resultados. O maior primo que divide 5! é justamente 5.

Já que não é possível construir uma função S1/n que aceite cinco parâmetros permutáveis e retorne exatamente quatro valores distintos, não existe fórmula aritmética para resolver a equação de quinto grau ou superior.

Estas limitações não são problema para equações do segundo grau, porque R(x1,x2) retorna dois resultados (ok) e S(x1,x2) retorna um (também ok).

Para terceiro grau, R(x1,x2,x3) retorna três valores distintos para as 6 possíveis permutações (ok pois 3 é o número de parâmetros) e S(x1,x2,x3) retorna dois valores distintos (ok pois sempre é possível construir funções que retornem apenas dois resultados).

Para o quarto grau, R(x1,x2,x3,x4) retorna quatro valores (ok pois são 4 parâmetros) e S(x1,x2,x3,x4) retorna três valores (ok porque 3 é o maior primo que divide 4!=24).

A prova incompleta de Ruffini dizia a mesma coisa, porém Ruffini presumiu sem provar que as fórmulas R e S constituiriam o único caminho de resolver a equação com aritmética. Abel provou que isto era mesmo o caso.

Tudo isto refere-se a uma hipotética solução geral da equação de 5º grau, tal qual Báscara é para 2º grau. Algumas equações de 5º grau podem ser resolvidas algebricamente. Algumas bem facilmente até, como esta:

x5 - 32 = 0
x = 2 (trivial)
A = 11/5 (raiz primitiva quinta de 1)
x(n) = 2.An (formato geral das cinco raízes)

A raiz óbvia, trivial, da equação é x=2. Normalmente é a única solução em que estamos interessados. Mas na verdade há cinco soluções. Quatro delas estão relacionadas às quatro raízes primitivas de 1.

Uma equação quíntica é solúvel quando pelo menos duas raízes estão algebricamente relacionadas. Assim há apenas quatro incógnitas, no máximo, o que equivale a uma equação quártica. No exemplo acima, propositadamente simples, todas as cinco raízes são "aparentadas".

Quase, mas só quase

O matemático Lagrange tinha chegado a uma conclusão parecida à de Abel e Ruffini, embora por outro caminho. Ele criou o conceito de "equação resolvente", um método de resolver a equação construindo outras de grau menor.

Por exemplo, para resolver uma equação de quarto grau, acha-se a resolvente de terceiro grau, e então a resolvente de segundo grau, que é facilmente resolvida com Báscara.

Para achar os coeficientes das equações resolventes, Lagrange também fez uso de permutações das raízes, e também concluiu que as funções necessárias seriam funções racionais das raízes, com certos requisitos de simetria.

Para resolver a equação quártica, é preciso determinar a equação resolvente cúbica, que pede 3 coeficientes. Assim, é preciso que exista uma função racional que, a partir das 4 raízes (e 24 combinações), retorne no máximo 3 resultados diferentes.

Lagrange conseguiu achar funções com a necessária simetria para 3 e 4 raízes, mas não para 5 raízes. Com 5 parâmetros, as funções retornavam no mínimo 6 resultados diferentes, o que significaria uma resolvente de sexto grau (pior que a equação de quinto grau original). Por conta disso o matemático desconfiou que a equação de quinto grau ou superior não tinha solução (como fórmula fechada), mas não chegou a provar isso cabalmente.

Volta ao campo de Galois

Podemos dizer que, enquanto Abel trabalhou o problema de cima para baixo, Galois trabalhou o problema de baixo para cima. Vamos revisitar um exemplo de equação do 5º grau que pode ser resolvida com fórmula, e determinar por que isto é possível neste caso.

x5 - 3 = 0

Supondo a raiz quinta primitiva 11/5 igual a U, temos

x1 = 31/5 . U
x2 = 31/5 . U2
x3 = 31/5 . U3
x4 = 31/5 . U4
x5 = 31/5 . U5/5 = 31/5 . 1 = 31/5

Estas cinco raízes não podem ser expressas no campo dos números racionais. Porém, basta semear dois números irracionais no campo — no caso, raiz quinta primitiva de 1 (U), e raiz quinta de 3. Neste campo estendido, as raízes podem existir. Em linguagem técnica, o campo que contém as raízes é Q(U, 31/5).

A outra forma de produzir um campo em que "caibam" todas as raízes, é simplesmente usar as próprias raízes como extensões. Para o exemplo acima, seria Q(x1,x2,x3,x4,x5). Isto vale para qualquer equação de qualquer grau.

Claro, se já sabemos as raízes, esse trabalho seria inútil, já que o objetivo aqui é justamente calcular as raízes. Mas isto prova ao menos que existe um método infalível de estender o campo dos racionais, a fim de acomodar as raízes. A pergunta agora é se existe uma forma mais simples, mais incremental, de estender o campo a fim de atingir o mesmo resultado.

O outro fato que podemos deduzir do campo Q(x1,x2,x3,x4,x5), é que podemos mudar a ordem em que as raízes são adicionadas. Por exemplo, o campo Q(x2,x1,x3,x4,x5) contém as raízes do mesmo jeito que o outro, porém as raízes são permutadas. Existem até 5!=120 possibilidades diferentes, e existem 120 automorfismos, ou seja, transformações de uma extensão irracional para outra que preservam os valores racionais.

De fato, existem muitas outras formas de formar um campo. Galois demonstrou que existe uma forma normal de fazer isso: a cada extensão, o campo resultante deve conter todas as raízes de um polinômio qualquer, denominado polinômio mínimo.

No exemplo acima, o correto é estender primeiro com a raiz primitiva. O campo Q(U) é uma extensão normal pois contém todas as raízes da equação

x5 - 1 = 0

enquanto o campo Q(31/5) não é uma extensão normal, pois ele contém apenas uma raiz da equação lá de cima. Agora, estendemos o campo uma segunda vez. O campo Q(U)(31/5) também é normal já que possui todas as raízes da equação do exemplo.

Galois determinou que, construindo o campo usando extensões normais, nós ganhamos dois resultados desejáveis:

a) Já que cada extensão irracional de campo é um número construído apenas com aritmética e radiciação, as raízes da equação que desejamos resolver também podem ser expressas por aritmética e radiciação.

b) As extensões normais podem ser "desmontadas". Essa desmontagem equivale ao processo de achar uma fórmula que resolve a equação. Existe uma analogia entre os campos de Galois e os grupos de Galois. Um campo formado por extensões normais pode ser equiparado a um grupo que possui subgrupo normal, que por sua vez possua um subsubgrupo normal, até chegar num grupo pequeno e abeliano. A existência deste último equivale a dizer que existe uma fórmula.

A conexão entre campos e grupos vem dos automorfismos. Um automorfismo de campo transforma os valores, porém fixando a parte racional dos mesmos. Por exemplo, a extensão Q(i) contém as soluções da equação quadrática

x2 - 4x + 13 = 0
x1 = 2+3i
x2 = 2-3i

Os automorfismos têm um efeito interessante sobre as raízes das equações polinomais: eles embaralham algumas raízes (não necessariamente todas).

O campo Q(i) admite dois automorfismos: a identidade (não mexer nada) e a inversão de +i para -i. No exemplo acima, comutar +i para -i faz x1=x2 e vice-versa, ou seja, converte cada raiz no seu conjugado, sem tocar na parte racional da raiz (2).

Os automorfismos podem ser combinados e formam um grupo. No caso do exemplo, formam o pequeno grupo circular C2, pois aplicar duas vezes o homomorfismo "+i para -i" equivale a não fazer nada.

Voltando ao exemplo de 5o grau, vamos analisar cada extensão de campo em separado. O campo Q(U) admite quatro automorfismos, que comutam as raízes primitivas e seus conjugados:

Aut(a): U1, U2, U3, U4 = U1, U2, U3, U4
Aut(b): U1, U2, U3, U4 = U2, U4, U1, U3
Aut(c): U1, U2, U3, U4 = U3, U1, U4, U2
Aut(d): U1, U2, U3, U4 = U4, U3, U2, U1

A princípio poderia parecer que deveria admitir 5 automorfismos, formando um grupo circular com todas as raízes. Mas aí a raiz trivial (1), que é racional, teria de entrar na dança, e isto quebraria a promessa do automorfismo que é deixar intocado qualquer parte racional. É prudente relembrar que a raiz n-ésima primitiva é sempre a raiz de uma equação de grau imediatamente inferior:

x5 - 1 = (x - 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)

e a ordem do grupo de automorfismos de uma extensão é igual ao grau do polinômio mínimo de que a extensão é uma raiz, que neste caso é 4. A equação

x5 - 1

não é o polinômio mínimo da raiz primitiva porque não é irredutível no campo dos racionais: uma das raízes é o número 1, que é racional, então podemos fatorar em

(x - 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)

e o segundo fator é finalmente irredutível e primitivo.

Também é notável que temos apenas 4 automorfismos e não 24 deles, pois apenas os 4 citadas preservam a consistência das potências de U. Por exemplo,

Aut(b)(U2) = Aut(b)(U).Aut(b)(U)
Aut(b)(U2) = U2.U2
Aut(b)(U2) = U4
U4 = U4

Aut(c)(U2) = Aut(c)(U).Aut(c)(U)
Aut(c)(U2) = U3.U3
Aut(c)(U2) = U6
Aut(c)(U2) = U1
U1 = U1

Já o campo Q(31/5) parece admitir cinco automorfismos que formam um grupo circular, multiplicando-se a raiz quinta de 3 pelas potências de U. Aplicar um automorfismo pode converter um valor de real para complexo e vice-versa, mas como isto acontece apenas com a parte irracional, parece ok.

Porém, há um detalhe: U não pertence ao campo Q(31/5). Não podemos usar um número irracional de fora do campo, então não há automorfismos possíveis. Só podemos construir o círculo com 5 automorfismos se começarmos com Q(U) e estendermos com 31/5.

(Note que o automorfismo "31/5 para -(31/5)" também não nos serve, pois a quinta potência da primeiro número resulta em 3 (que é um número racional!), enquanto a quinta potência do segundo número resulta em -3. Uma fórmula racional teve seu valor afetado pela transformação, então ela não serve como automorfismo.)

Poderíamos então presumir que o campo final Q(U)(31/5) admitiria 20 automorfismos (4x5). Porém muitas combinações dão o mesmo resultado, então temos apenas 5 automorfismos distintos no campo maior, novamente formando um círculo de raízes.

Todas as equações de 2º, 3º e 4º grau possuem uma série normal de campos. No entanto, tal série não existe para todas as equações de 5º grau e acima. A equação de 5o grau do exemplo é solúvel porque seu grupo de automorfismos tem uma série normal: o grupo de rotação C5 é abeliano. Mas outras equações podem ter grupos de tamanho até S5, com 120 elementos e desprovidos de uma série normal.

Dizendo de outra forma: toda equação de 5º grau tem raízes (que podem ser determinadas por métodos numéricos, na pior das hipóteses) e o campo Q(x1,x2,x3,x4,x5) que contém essas raízes de uma equação de 5º grau sempre existe. Porém pode acontecer de não ser possível formar este campo usando apenas extensões normais, e portanto não ser possível garantir que as raízes x1..x5 sejam expressas por aritmética e radiciação. E, se o campo não pode ser construído por extensões normais, ele não pode ser "desmontado" em partes menores, não há como construir uma fórmula para determinar as raízes.

Dizendo de uma terceira forma: mesmo que pudermos escolher livremente as 5 raízes irracionais (expressas por radiciações e aritmética), não conseguiríamos chegar num conjunto que resultasse em 5 coeficientes racionais. Só conseguimos atingir este objetivo se impusermos restrições adicionais à escolha das raízes, como foi o caso do exemplo mais acima, onde as raízes são rotações de um mesmo valor primitivo.

O grupo de automorfismos das equações de 2º grau é, no máximo S2, que é um grupo pequeno, cíclico e abeliano, então pode ser construído por uma extensão de 2º grau (uma raiz quadrada).

O grupo de automorfismos das equações de 3º grau é, no máximo, S3, com 3!=6 elementos. Este grupo não é abeliano, mas ele contém o subgrupo C3 que é abeliano. O quociente entre S3 e C3 é Z2, também abeliano. (O conceito de grupo quociente é meio complicado para introduzir neste texto; se tiver interesse, procure material específico sobre grupos.) Isto significa que o campo das raízes pode ser criado estendendo-de os racionais com uma raiz quadrada (C2) e uma raiz cúbica, nesta ordem.

O grupo de automorfismos de equações de 4º grau é, no máximo, S4, com 4!=24 elementos. Este grupo não é abeliano. Ele possui um subgrupo A4, que também não é abeliano, mas o quociente entre os dois (Z2) é abeliano. Dentro de A4 há o subgrupo V4. O quociente entre os dois (C3) é abeliano. V4 é abeliano mas não é cíclico, e só nos interesssam grupos cíclicos. Felizmente, um grupo abeliano não-cíclico é um produto direto de dois grupos menores, no caso Z2×Z2.

Então temos a cadeia que forma o campo das raízes: estender com uma raiz quadrada (Z2), uma raiz cúbica (C3), e mais duas raízes quadradas (V4 = Z2×Z2).

Algumas equações de 4º grau são mais simples, portanto suas raízes formam apenas um subgrupo de S4. Por exemplo, as equações biquadradas correspondem ao grupo V4, que é a composição de dois grupos Z2, e de fato duas raízes quadradas completam o campo neste caso.

Em todo caso, em algum ponto da cadeia temos de ter um grupo de 4 elementos (ou 2×2) já que uma equação do 4º grau sempre tem 4 soluções, por mais simples que seja.

As equações de 5º grau têm um grupo de automorfismo de, no máximo, S5, com 5!=120 elementos. O subgrupo imediato é A5, com 60 elementos. O quociente é Z2, o que sugere uma extensão raiz quadrada. Porém, não há outro subgrupo normal abaixo de A5, portanto não é possível determinar quais seriam as outras 2 raízes quadradas, a raiz cúbica e a raiz quinta que completariam o campo.

Por outro lado, uma equação de 5º grau mais simples, correspondente a um subgrupo de S5 pode ser solúvel. Trabalhamos com o exemplo cujo grupo era C5, que é abeliano, cíclico e trivialmente solúvel.

Existem outros subgrupos abelianos de S5, por exemplo Z4, V4 e outros, porém eles não podem corresponder a uma equação de 5º grau, pois ela tem 5 raízes, por mais simples que seja, então o número de elementos do subgrupo correspondente tem de ser um múltiplo de 5. Os subgrupos normais com ordem múltipla de 5 são apenas C5 e D10.

Referências:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2008/10/abels-impossibility-proof.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.br/2008/08/cauchys-theorem-on-permutations-of.html
Visual group theory, YouTube playlist do prof. Matthew Macauley