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Equações do quinto grau

A história e os personagens da álgebra são tão interessantes quanto o próprio assunto. Dentre muitos, há Paolo Ruffini, um afamado médico e matemático amador, ignorado pelos matemáticos profissionais contemporâneos; Neils Abel, que lutou contra a pobreza e falta de reconhecimento, morrendo de pneumonia aos 26; e Evariste Galois, morto aos 20 num duelo motivado por questões nada surpreendentes: mulher e política.

A busca pelas soluções ou "raízes" de equações como a de segundo grau, no formato:

x2 + bx + c = 0

vem desde muito antes de Cristo. As raízes são os valores de "x" que fazem o polinômio valer zero, e tornam a equação acima verdadeira.

Muita coisa vem de arrasto com a busca das raízes. Começa pela melhor forma de expressar o problema no papel. Depois, a busca da melhor "metáfora" para conectar a equação com o mundo real. Equações quadráticas são naturalmente relacionadas com áreas, equações cúbicas com volumes. Daí para cima, as metáforas escasseiam.

Lembranças do ensino fundamental

Pela definição de polinômio, os coeficientes "b", "c", etc. são sempre números racionais (fracionários). Na oitava série geralmente aprendemos a equação com formato ligeiramente diferente:

ax2 + bx + c = 0

O coeficiente "a" é usado na didática para que todos os coeficientes possam ser todos inteiros. Em estudos mais avançados assume-se que os coeficientes são racionais, e o coeficiente "a" deixa de ser necessário.

Graças ao Teorema Fundamental da Álgebra, provado por Gauss, sabemos que sempre podemos expressar a equação polinomial em função das raízes, da seguinte forma:

a(x - x1)(x - x2) = 0

Na forma acima, é fácil ver que, quando "x" é igual a x1 ou igual a x2, o valor de um dos monômios entre parênteses vai a zero, e a equação toda vai a zero. Portanto, x1 e x2 são mesmo as raízes.

O coeficiente "a" é um simples fator de escala, e podemos deixá-lo de lado para simplificar ainda mais a expressão:

(x - x1)(x - x2) = 0

Multiplicando os monômios para chegar novamente num polinômio tradicional, obtemos

x2 - (x1+x2).x + (x1.x2) = 0

e fica claro que os coeficientes "b" e "c" têm relação de parentesco bem próxima com as raízes. O grande desafio, que esquentou a moringa dos matemáticos por milênios, é calcular as raízes (normalmente desconhecidas) com base nos coeficientes.

O número de raízes depende do grau da equação: 2 para segundo grau, 3 para cúbica, e assim por diante. O desafio específico dos matemáticos é achar uma fórmula fechada para as raízes, que qualquer um pode calcular com lápis e papel.

Pode ser que algumas raízes sejam complexas — se houverem, elas serão sempre aos pares. Isto significa que uma equação de grau ímpar, sempre haverá pelo menos uma raiz real; e pode haver 0, 2, 4... raízes complexas.

Se uma raiz complexa ou negativa faz sentido no mundo real, isto é outro problema. Por exemplo, a simplíssima equação abaixo:

x2 = 4

pode significar um quadrado de área 4, e a raiz da equação é a largura do quadrado. Esta equação tem soluções x1=2 e x2=-2. Mas se usamos a equação para calcular a largura de um terreno quadrado, a solução negativa deve ser desprezada.

Na sétima ou oitava série aprendemos a fórmula de Báscara para achar as raízes da equação de segundo grau:

x1, x2 = (-b +/- (b2 - 4c)1/2) / 2

Existem fórmulas fechadas semelhantes para as equações de terceiro grau (Cardano) e também para quarto grau (Ferrari) embora sejam muito mais complicadas, a ponto de na prática serem pouco utilizadas.

Já para as equações de quinto grau e acima, não existe fórmula nesse estilo. As raízes existem, mas elas não podem ser calculadas por uma fórmula simples, composta unicamente de operações aritméticas e raízes de grau até 5. É o que afirma o teorema de Abel-Ruffini, fazendo cessar uma busca de muitos séculos.

Os porquês da inexistência de tal fórmula abriram as portas de uma nova dimensão na matemática: a álgebra abstrata.

As equações de primeiro grau no formato

ax + b = 0     solução: x = b/a

têm apenas uma raiz racional, ou seja, uma fração. Note que eu usei a notação didática, conservando o coeficiente "a", de modo a deixar bem evidente que a raiz será uma fração (b/a). Para resolver equações de primeiro grau, o conjunto dos números racionais ou fracionários (Q) é suficiente.

Permutações e simetrias

Equações algébricas têm interessantes características de simetria. Vamos voltar a olhar para a humilde equação do segundo grau:

x2 + bx + c = 0

Este polinômio, assim como qualquer outro, pode ser fatorado em diversos monômios de 1º grau:

(x - x1)(x - x2) = 0

Também aprendemos a achar as raízes em função dos coeficientes, com a fórmula de Báscara:

x1, x2 = (-b +/- (b2 - 4c)1/2) / 2

Uma coisa que até foi mostrada em sala de aula, mas não foi estressada, foi a fórmula inversa, ou seja, expressar os coeficientes em função das raízes — o que é fácil fazer, embora tedioso, basta multiplicar os termos do polinômio fatorado em monômios:

-b = x1 + x2
c = x1.x2

Note que estas fórmulas, conhecidas como fórmulas de Viète, são muito mais simples que a de Báscara. Mais importante, são fórmulas simétricas. Podemos fazer qualquer permutação entre as raízes, que os resultados são sempre os mesmos. Isto vale para coeficientes de qualquer grau.

Com um pouco de esforço, podemos calcular os coeficientes da equação de terceiro grau a partir das raízes x1, x2, x3. E constatar que as fórmulas também são imunes a permutações:

x3 + bx2 + cx + d = 0

-b = x1 + x2 + x3
c = x1.x2 + x1.x3 + x2.x3
d = x1.x2.x3

Existe um certo paradoxo aqui. Achar os coeficientes em função das raízes é fácil. O resultado é obtido com fórmulas simples, simétricas, e puramente aritméticas. Por outro lado, o processo inverso — achar as raízes em função dos coeficientes — não pode se basear em fórmulas simétricas, já que há diversas raízes para encontrar. A fórmula final acaba sendo assimétrica, complicada e irracional, envolvendo raízes.

A prova de Abel consiste em várias partes. A primeira parte consiste em provar que toda solução algébrica para uma equação de n-ésimo grau pode ser expressa na forma

x = p + R1/m + p2.R2/m + ... p(m-1).R(m-1)/m

p, p2, p3... = funções racionais dos coeficientes, grau menor que m
R = uma função irracional dos coeficientes, grau menor que m
m = número primo menor que n

Podemos encaixar facilmente as soluções de equações de 2º, 3º e 4º grau nesta forma. No caso de Báscara, m=2, então a fórmula genérica fica muito simples:

x = p + R1/2

p = -b/2
R = b2/4-c

Mas a equação de segundo grau tem duas soluções, não apenas uma. Isto é resolvido pelo fato de usarmos a raiz quadrada de R, que possui dois valores. Para obter as diversas raízes, basta multiplicar repetidamente pela raiz primitiva de 1, que no caso da raiz quadrada é apenas uma: -1.

x1 = p + (+1).R1/m
x2 = p + (-1).R1/m

Isto faz o papel do +/- da fórmula de Báscara.

Distinguimos entre a raiz "trivial" da unidade (+1) e a "primitiva" (-1). Não parece uma distinção muito informativa. Mas a coisa fica mais interessante nos graus superiores. Quando o grau é primo (2, 3, 5) todas as raízes n-ésimas primitivas da unidade são números complexos. Por exemplo, as raizes cúbicas de 1 são três, duas delas primitivas:

+1
(-1-31/2i)/2
(-1+31/2i)/2

As raízes primitivas primas são interessantes porque, conhecendo uma delas, obtemos facilmente as demais, com potenciação:

A = (-1-31/2i)/2
A2 = (-1+31/2i)/2
A3 = 1

Este truque obviamente não funcionaria se aplicado sobre a raiz trivial, já que 1n é sempre igual a 1.

Os pulos do gato

O primeiro "pulo do gato" de Abel foi provar que a função R1/m, considerada como uma caixa-preta, pode ser expressa por uma função racional das raízes. Tomando novamente o exemplo de Báscara:

R = b2-4c
-b = x1 + x2
c = x1.x2

então

R = (x12 + 2.x1.x2 + x22 - 4.x1.x2)/4
R = (x12 - 2.x1.x2 + x22)/4
R = (x1 - x2)2/4
R1/2 = (x1 - x2)/2

Note que a raiz quadrada do discriminante de Báscara vira simplesmente a diferença entre as raízes da equação. A raiz quadrada desaparece. Para encontrarmos x2, basta multiplicar R pela raiz primitiva de 1 (A=-1):

R para x2 = A.R = (-1).(x1 - x2)/2 = (x2 - x1)/2

Note que multiplicar R por -1 equivale a permutar as raízes x1 e x2. Isso parece óbvio aqui, já que trata-se apenas de multiplicar por -1. Mas este truque mantém-se para equações cúbicas, muito embora a raiz cúbica primitiva de -1 seja um número complexo.

No caso da equação de terceiro grau, as equações de resolução ficam:

x1 = p + R1/3 + p2.R2/3
x2 = p + A.R1/3 + A2p2.R2/3
x3 = p + A2R1/3 + A.p2.R2/3

Note que a equação para a raiz x1 não possui "A" (raiz cúbica primitiva de 1), enquanto as equações para as raízes x2 e x3 levam "A". Há apenas duas raízes cúbicas primitivas de 1, então só há dois arranjos possíveis, exatamente o que precisávamos.

Assim, as raízes são três, mas as raízes que envolvem "A" são apenas duas. Na equação do segundo grau, aconteceu a mesma coisa: duas raízes, apenas uma envolve -1. O mesmo vale para qualquer grau, e isto vai ser um ingrediente importante da prova de Abel.

O segundo "pulo do gato" de Abel foi este: estabelecer que a função R1/m retorne exatamente "m" valores, dadas todas as permutações possíveis das raízes.

Recapitulando então: a função R1/m, que é a espinha dorsal da solução de uma equação algébrica, é, ao mesmo tempo:

Portanto, existe uma ligação indissolúvel entre permutação (de raízes) e a multiplicidade de raízes da unidade.

Na sua versão "racional", R1/m tem de possuir uma simetria apenas parcial. Não pode ser uma função totalmente simétrica, porque assim ela retornaria sempre o mesmo valor. Ela precisa retornar exatamente "m" valores diferentes; para equações com graus primos, "m" é o grau da equação.

No caso de Báscara, tudo isto é fácil de atender, pois R1/2 tem de retornar 2 valores diferentes, para que possamos achar 2 raízes. Como só há 2 permutações possíveis, não há dúvida.

No caso das equações do 3º grau, a versão "racional" de R1/m, função das três raízes, aceita 3 parâmetros: x1, x2 e x3, o que nos dá 6 combinações possíveis. Mas a função que procuramos só pode retornar 3 valores diferentes.

Assim, segundo Abel, se existe uma função R1/m que atende aos requisitos de simetria, então existe solução para a equação de grau "m".

A prova

Se considerarmos a equação

x1 = p + R1/3 + p2.R2/3

e substituirmos R1/3 por "y", e rearranjarmos um pouco as coisas, acabamos tendo

p2.y2 - y - p - x1 = 0

que é uma equação quadrática, e "y" tem apenas duas soluções. Mas "y" é na verdade a função R1/3 que sabemos possuir três soluções.

O conflito se resolve porque a equação acima é apenas para x1. Podemos fazer manipulação semelhante para x2 e x3. Acabamos com três equações quadráticas, "y" poderia ter potencialmente seis soluções, mas sabemos que "y" só tem três valores, então haverá um compartilhamento. Dos três valores A, B, C possíveis, a primeira equação tem soluções (A,B), a segunda (B,C) e a terceira (A,C).

Mas o fato é que, de alguma forma, existe uma versão de R1/3 que tem apenas duas soluções, suficiente para satisfazer a equação quadrática acima. Generalizando, existe uma versão de R1/m que retorna (m-1) valores.

Por meio de hábeis manipulações, Abel chega a uma função desse tipo, denominada S1/n, onde n=m-1. O fato de "n" ser inferior indica que ela retorna um valor a menos. No caso da equação cúbica, se existe R1/3, também há S1/2.

Assim como R1/m, S1/n também é uma função irracional dos coeficientes, e uma função racional (aritmética) das raízes. Nesta segunda forma, os diversos valores possíveis de S1/n são obteníveis através de permutações das raízes.

A fórmula S1/n existe porque envolve permutações das raízes primitivas de 1. O número de raízes primitivas é o grau menos um. Por exemplo, a raiz quadrada de 1 tem dois valores: +1 e -1, mas apenas -1 é primitivo, enquanto +1 é trivial. Conforme elevamos a raiz primitiva ao quadrado, ao cubo, etc. obtemos um ciclo: 1, -1, 1, -1... truque que a raiz trivial +1 não faz.

Outra forma de ver a coisa: a equação cúbica x3-1=0 tem três soluções. Ela pode ser fatorada da seguinte forma:

(x-1)(x2+x+1) = 0

(Na verdade, qualquer equação xn-1=0 pode ser fatorada de forma semelhante.)

Uma das soluções é obviamente 1, que faz a primeira parte (x-1) valer zero. Esta é a raiz trivial. A segunda parte é uma equação quadrática, cujas duas soluções são complexas: 1+31/2/2 e 1-31/2/2. Note que, como elas são raízes da equação original, elas são raízes cúbicas primitivas de 1, porém seu valor contém uma raiz quadrada (não cúbica) porque determinar seu valor envolveu resolver uma equação de um grau inferior ao original.

A raiz quinta de 1 tem 4 valores primitivos, além é claro do valor trivial +1. Basta conhecer uma raiz primitiva para descobrir todas as outras, basta ir elevando ao quadrado, ao cubo, etc.

No caso da equação quíntica, S1/n tem quatro possíveis resultados, o que equivale a resolver uma equação de 4o grau. Que por sua vez vai exigir a resolução de uma equação de 3o grau, que puxa uma de 2o grau. Ou seja, se for possível resolver a equação usando apenas aritmética, isto vai acontecer através de uma cadeia de equações de grau descendente. A equação original vai sendo "desmontada".

No caso da equação cúbica, o método de Cardano transforma a equação de diversas formas até acabar numa equação do segundo grau, que já sabemos resolver com Báscara. A mesma coisa com a equação quártica: acha-se uma equação resolvente cúbica, que por sua vez tem resolvente quadrática.

No caso da equação quíntica, a função R1/m tem de retornar exatamente cinco valores diferentes para as 120 permutações possíveis das raízes, então S1/n teria de retornar quatro valores para 120 permutações das raízes.

Cauchy tinha provado que, se uma função tem "n" parâmetros e retorna menos que "n" resultados distintos, ela deve retornar ou 1, ou 2, ou "p" resultados, onde "p" é o maior primo que divide n!.

Por exemplo, uma função com 5 parâmetros pode retornar 1, 2, 5, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 ou 120 resultados diferentes, conforme os parâmetros são permutados. Mas ela nunca poderia retornar, por exemplo, 3 ou 4 resultados. O maior primo que divide 5! é justamente 5.

Já que não é possível construir uma função S1/n que aceite cinco parâmetros permutáveis e retorne exatamente quatro valores distintos, não existe fórmula aritmética para resolver a equação de quinto grau ou superior.

Estas limitações não são problema para equações do segundo grau, porque R(x1,x2) retorna dois resultados (ok) e S(x1,x2) retorna um (também ok).

Para terceiro grau, R(x1,x2,x3) retorna três valores distintos para as 6 possíveis permutações (ok pois 3 é o número de parâmetros) e S(x1,x2,x3) retorna dois valores distintos (ok pois sempre é possível construir funções que retornem apenas dois resultados).

Para o quarto grau, R(x1,x2,x3,x4) retorna quatro valores (ok pois são 4 parâmetros) e S(x1,x2,x3,x4) retorna três valores (ok porque 3 é o maior primo que divide 4!=24).

A prova incompleta de Ruffini dizia a mesma coisa, porém Ruffini presumiu sem provar que as fórmulas R e S constituiriam o único caminho de resolver a equação com aritmética. Abel provou que isto era mesmo o caso.

Tudo isto refere-se a uma hipotética solução geral da equação de 5º grau, tal qual Báscara é para 2º grau. Algumas equações de 5º grau podem ser resolvidas algebricamente. Algumas bem facilmente até, como esta:

x5 - 32 = 0
x = 2 (trivial)
A = 11/5 (raiz primitiva quinta de 1)
x(n) = 2.An (formato geral das cinco raízes)

A raiz óbvia, trivial, da equação é x=2. Normalmente é a única solução em que estamos interessados. Mas na verdade há cinco soluções. Quatro delas estão relacionadas às quatro raízes primitivas de 1.

Uma equação quíntica é solúvel quando pelo menos duas raízes estão algebricamente relacionadas. Assim há apenas quatro incógnitas, no máximo, o que equivale a uma equação quártica. No exemplo acima, propositadamente simples, todas as cinco raízes são "aparentadas".

Quase, mas só quase

O matemático Lagrange tinha chegado a uma conclusão parecida à de Abel e Ruffini, embora por outro caminho. Ele criou o conceito de "equação resolvente", um método de resolver a equação construindo outras de grau menor.

Por exemplo, para resolver uma equação de quarto grau, acha-se a resolvente de terceiro grau, e então a resolvente de segundo grau, que é facilmente resolvida com Báscara.

Para achar os coeficientes das equações resolventes, Lagrange também fez uso de permutações das raízes, e também concluiu que as funções necessárias seriam funções racionais das raízes, com certos requisitos de simetria.

Para resolver a equação quártica, é preciso determinar a equação resolvente cúbica, que pede 3 coeficientes. Assim, é preciso que exista uma função racional que, a partir das 4 raízes (e 24 combinações), retorne no máximo 3 resultados diferentes.

Lagrange conseguiu achar funções com a necessária simetria para 3 e 4 raízes, mas não para 5 raízes. Com 5 parâmetros, as funções retornavam no mínimo 6 resultados diferentes, o que significaria uma resolvente de sexto grau (pior que a equação de quinto grau original). Por conta disso o matemático desconfiou que a equação de quinto grau ou superior não tinha solução (como fórmula fechada), mas não chegou a provar isso cabalmente.

Volta ao campo de Galois

Em termos de campos de Galois, o teorema de Abel-Ruffini significa que não podemos criar um campo que contenha as raízes de uma equação de quinto grau ou superior, pelo método de adicionar uma quantidade finita de extensões.

Algumas equações do quinto grau podem ser resolvidas algebricamente. Vejamos um exemplo parecido com o anterior:

x5 - 3 = 0
x = 31/5 . 1n/5

Neste caso o campo de Galois que contém as raízes pode ser construído com extensões: Q(i, 11/5, 31/5), onde 11/5 é uma raiz primitiva da unidade. Note que tivemos de adicionar também a raiz quinta de 3, por ser um número irracional.

Este é um exemplo da importância do campo de Galois. Com ele, pode-se determinar se uma equação em particular pode ser resolvida algebricamente, enquanto o teorema de Abel-Ruffini trata do caso geral.

Galois conseguiu este resultado estabelecendo um paralelo entre campos (que possuem duas operações aritméticas abelianas) e grupos (uma operação).

Grupos de permutação

Um grupo é um pacote contendo um conjunto e uma operação binária que atenda certas exigências. Não interessa do que o conjunto é feito, nem o que a operação significa no mundo real. Mas, para ficar num exemplo palpável, o conjunto dos inteiros é um grupo sob adição. As exigências são as seguintes:

A operação não precisa ser comutativa para o grupo ser válido. Mas, se for, o grupo é denominado abeliano, em homenagem a Abel, e porque esse tipo de grupo tem relação com o teorema de Abel-Ruffini.

Alguns exemplos e contra-exemplos de grupos:

Porém os primeiros grupos estudados não envolviam números, mas sim permutações. Imagine que você possua 3 objetos: A, B, C. Existem seis formas de ordená-los: ABC, ACB, CAB, BAC, BCA, CBA.

Para transicionar de uma forma para outra, você faz uma operação de permutação. Por exemplo, para ir de ABC a ACB, você troca o 2º com o 3º. A notação formal para esta troca é (23): 2º vai para o lugar do 3º e vice-versa. Para ir de ABC a CAB, a notação seria (132).

Note que a notação descreve um ciclo ou órbita: (132) significa que o 3º elemento vai para a 1º posição, o 2º elemento vai para a 3º posição, e o 1º elemento vai para a 3º posição. (132), (321) e (213) são sinônimos. A permutação (1) ou "e" é a identidade, ou nula.

As operações de permutação podem ser combinadas, e formam um grupo. Por exemplo, a combinação (13)(23) é igual a (132). Por outro lado, (23)(13) dá um resultado diferente: (123). É portanto um grupo não-comutativo, não-abeliano. A tabela de operações do grupo S3, que é o grupo de permutações de 3 objetos, é a seguinte:

          e      (12)    (23)    (13)    (123)   (132)
======================================================
e         e      (12)    (23)    (13)    (123)   (132)
------------------------------------------------------
(12)      (12)   e       (123)   (132)   (23)    (13)
------------------------------------------------------
(23)      (23)   (132)   e       (123)   (13)    (12)
------------------------------------------------------
(13)      (13)   (123)   (132)   e       (12)    (23)
------------------------------------------------------
(123)     (123)  (13)    (12)    (23)    (132)   e
------------------------------------------------------
(132)     (132)  (23)    (13)    (12)    e       (123)

Pode-se extrair uma quantidade imensa de conclusões a respeito do grupo acima. Muitos outros grupos têm a mesma estrutura deste. Por exemplo, o grupo de manipulações de um triângulo D3 é essencialmente igual (isomórfico). Imagine um triângulo com as pontas nomeadas A, B, C no sentido dos ponteiros do relógio. Girar ou virar o triângulo é semelhante a fazer permutações. Assim como no grupo acima, virar o triângulo e girá-lo em seguida causa um resultado diferente de girá-lo e então virá-lo pela mesma ponta.

Podemos compor todas as operações de permutação acima com base em apenas duas. Por exemplo, (12)(132) é igual a (23). Num triângulo, isto significa que, em vez de virar o triângulo pela ponta esquerda, podemos virar pela ponta de cima e girá-lo em seguida, atingindo o mesmo resultado. (É algo mais fácil de se ver brincando com lápis e papel, ou mesmo cortando um triângulo com a tesoura.)

(123) = r = rotação antihorária 120º
(12)  = f = virar pela ponta de cima 
(132) = (123)(123) = r.r = r^2
(13)  = (123)(12) = r.f
(23)  = (132)(12) = r^2.f

As operações (123) e (12), denominadas pelas letras r (rotação) e f (flipar), são os geradores do grupo, pois através delas chegamos em todas as outras. Na verdade, qualquer outro par composto de uma rotação e um flip também funciona como gerador.

O grupo S3 acima tem um aspecto particularmente interessante para o assunto deste texto. Ele tem diversos subgrupos, ou seja, subconjuntos de elementos que ainda atendem àquelas exigências de um grupo:

Todos os subgrupos acima são abelianos, ou seja, a ordem das permutações não importa, ainda que importasse no super-grupo. O mais interessante é o grupo das rotações, pois tem três elementos. Este grupo tem o nome A3.

Galois encontrou uma correspondência entre os grupos de permutação e a solução da equação polinominal, que, como vimos antes, tem relação com permutações de raízes. Encontrar uma solução aritmética para a raiz equivale a achar um subgrupo abeliano dentro do grupo de permutação, com um número de elementos igual ao número de incógnitas.

O problema da equação de 3º grau tem solução aritmética porque, dentro de S3, existe um subgrupo abeliano A3 de 3 elementos. Ele tem de ser abeliano porque as operações aritméticas que usamos para calcular as raízes também são abelianas.

A equação de 4º grau também tem solução aritmética porque, dentro de S4, existe um subgrupo abeliano V4 (grupo de Klein) com 4 elementos.

A equação de 5º grau não tem solução aritmética geral porque, dentro de S5, não há um subgrupo abeliano. Existe o subgrupo A5, mas ele não é abeliano.

A exigência de um subgrupo abeliano é relacionado ao fato de que um campo é composto por duas operações abelianas. Quando estendemos um campo adicionando uma raiz quadrada, cúbica, etc. o campo novo continua sendo composto por duas operações abelianas.

O grupo relacionado a cada extensão de campo é o grupo de automorfismos dos radicais adicionados. Automorfismo é uma transformada que mapeia cada valor do campo para um outro valor, mas que atende a requisitos de linearidade:

Aut = função de automorfismo
Aut(x+y) = Aut(x) + Aut(y)
Aut(x.y) = Aut(x) . Aut(y)

O único automorfismo possível para o grupo dos racionais (Q) é o trivial, ou seja, não fazer nada. Inverter o sinal quase funciona, mas só quase, e não funciona como automorfismo:

Aut(x) = -x

Aut(3+5) = Aut(8) = -8
Aut(3) + Aut(5) = (-3) + (-5) = -8     ok

Aut(3.5) = Aut(15) = -15
Aut(3) . Aut(5) = (-3) . (-5) = +15    não ok

Para um campo estendido por radicais, temos automorfismos válidos. Estamos interessados naqueles que "fixam" o conjunto dos racionais, ou seja, os que não alteram o valor das expressões racionais.

Por exemplo, num campo estendido com √2, que contém a solução da equação quadrática x2-2=0, há dois automorfismos: o trivial e a transformação de √2 em -√2. O grupo relacionado é S2.

Incrível como possa parecer, qualquer expressão cujo resultado é racional mantém seu valor sob esta transformação, mesmo que seja uma composição de irracionais. Por exemplo, o quadrado de √2 é igual a +2 — um resultado racional; mas o quadrado de -√2 também é +2. O resultado foi preservado.

Naturalmente, expressões com resultados irracionais vão assumir valores diferentes sob cada automorfismo. Como é de se esperar, os automorfismos estão relacionados à fórmula de Báscara, onde consideramos o positivo e o negativo da raiz quadrada do determinante para chegar às duas soluções.

Por maior que seja o grau da equação polinominal, se "construirmos" suas raízes, pela adição de radicais ao campo dos racionais, os respectivos grupos de permutação serão sempre abelianos, e é possível achar uma fórmula para desconstruir as raízes.

Por exemplo, as soluções da equação quíntica x5-2=0 podem ser encontradas num campo racional estendido por apenas dois valores: a raiz quinta de 2 (cujo valor é unico, em torno de 1.149) e uma raiz primitiva de 1, de valor complexo.

Neste caso, as cinco raízes são proporcionadas pelos cinco automorfismos da raiz primitiva de 1, que são obtidos elevando-a às potências 1, 2, 3, 4, 5, que correspondem a um grupo de rotação C5. O negativo da raiz quinta de 2 não é um automorfismo, pois elevá-la à quinta potência resulta em 2, enquanto elavar seu negativo à quinta potência resulta em -2. (Se um resultado racional não é preservado, não nos serve.)

É possível criar automorfismos do campo estendido unicamente pela raiz quinta de 2, mas eles envolvem justamente multiplicar este radical pelas raízes primitivas de 1, e isso é equivalente a estender o campo uma segunda vez, com a raiz primitiva de 1.

Referências:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2008/10/abels-impossibility-proof.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.br/2008/08/cauchys-theorem-on-permutations-of.html