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Equações do quinto grau: portais para outra dimensão

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A história e os personagens da álgebra são tão interessantes quanto o próprio assunto. Dentre muitos, há Paolo Ruffini, um médico e matemático amador, ignorado pelos contemporâneos; Neils Abel, que lutou contra a pobreza e falta de reconhecimento, morrendo de pneumonia aos 26; e Evariste Galois, morto aos 20 num duelo motivado por questões nada surpreendentes: mulher e política.

A busca pelas soluções ou "raízes" de equações como a de segundo grau, no formato:

x2 + bx + c = 0

vem desde muito antes de Cristo. As raízes são os valores de "x" que fazem o polinômio valer zero, e tornam a equação acima verdadeira.

Muita coisa vem de arrasto com a busca das raízes. Começa pela melhor forma de expressar o problema no papel. Depois, a busca da melhor "metáfora" para conectar a equação com o mundo real. Equações quadráticas são naturalmente relacionadas com áreas, equações cúbicas com volumes. Daí para cima, as metáforas escasseiam.

Lembranças do ensino fundamental

Pela definição de polinômio, os coeficientes "b", "c", etc. são sempre números racionais (fracionários). Na oitava série geralmente aprendemos a equação com formato ligeiramente diferente:

ax2 + bx + c = 0

O coeficiente "a" é usado na didática para que todos os coeficientes possam ser todos inteiros. Em estudos mais avançados assume-se que os coeficientes são racionais, e o coeficiente "a" deixa de ser necessário.

Podemos expressar a equação em função das raízes, da seguinte forma:

a.(x - x1)(x - x2) = 0

Eliminando o coeficiente "a", chegamos a uma expressão ainda mais simples:

(x - x1)(x - x2) = 0

onde "x1" e "x2" são justamente as raízes da equação. Multiplicando os termos, chegamos a:

x2 - (x1+x2).x + (x1.x2) = 0

e fica claro que os coeficientes "b" e "c" têm relação de parentesco bem próxima com as raízes. Mas o grande desafio, que esquenta a moringa dos matemáticos há milênios, é calcular as raízes (normalmente desconhecidas) com base nos coeficientes.

As raízes sempre existem, conforme provado pelo Teorema Fundamental da Álgebra. O número de raízes depende do grau da equação: 2 para segundo grau, 3 para cúbica, e assim por diante. O desafio específico dos matemáticos é achar uma fórmula fechada, prontinha (que qualquer um pode executar fácil e rapidamente) para calcular as raízes.

Pode ser que algumas raízes sejam complexas — se houverem, elas serão sempre em pares. Isto significa que uma equação cúbica, com três raízes, sempre terá pelo menos uma raiz real (e pode haver ou zero ou duas raízes complexas).

Se uma raiz complexa, ou negativa, faz sentido no mundo real, é outro problema. Por exemplo, a simplíssima equação abaixo:

x2 = 4

pode significar um quadrado de área 4, e a raiz da equação é a largura do quadrado. Esta equação tem soluções x1=2 e x2=-2, mas não faz sentido um quadrado ter largura negativa... se estávamos procurando a largura de um terreno quadrado, temos de desprezar a solução x2 por "absurda".

Na sétima ou oitava série aprendemos a fórmula de Báscara para achar as raízes da equação de segundo grau:

x1, x2 = (-b +/- (b2 - 4c)1/2) / 2

Existem fórmulas fechadas semelhantes para as equações de terceiro grau (Cardano) e também para quarto grau (Ferrari) embora sejam muito mais complicadas, a ponto de na prática serem pouco utilizadas.

Já para as equações de quinto grau e acima, não existe fórmula nesse estilo. As raízes existem, mas não podem ser calculadas por uma fórmula composta de operações aritméticas e radiciação. É o que afirma o teorema de Abel-Ruffini, fazendo cessar uma busca de muitos séculos.

Os porquês da inexistência de tal fórmula criam uma nova dimensão na ciência matemática: a álgebra abstrata.

Vamos começar do começo.

As equações de primeiro grau no formato

ax + b = 0     solução: x = b/a

têm apenas uma raiz racional, ou seja, uma fração. Note que eu usei a notação didática, conservando o coeficiente "a", de modo a deixar bem evidente que a raiz será uma fração (b/a). Para resolver equações de primeiro grau, o conjunto dos números racionais ou fracionários (Q) é suficiente.

Campos de Galois

Aqui, é interessante introduzir um tema que surgiu como produto do estudo de Abel e Galois: os campos. Campo é um conjunto numérico fechado para as operações de adição e multiplicação. "Fechado" significa que o resultado da operação também pertence ao conjunto.

Para um campo ser um campo, cada número (a) deve possuir um oposto (b=-a) tal que a+b=0, e um inverso (c=1/a) tal que a.c=1. Dados estes requisitos, o menor campo possível é o conjunto dos racionais (Q).

A diferença entre campo e grupo é que um grupo só precisa atender aos requisitos de uma operação (adição ou multiplicação), enquanto o campo precisa atender ambas.

Por exemplo, o conjunto dos inteiros (Z) pode ser um grupo sob adição, mas não sob multiplicação, pois não possui os inversos, que são números fracionários. Assim, Z tampouco pode ser um campo. O menor campo possível é o conjunto de números racionais: Q.

Ainda assim, Q não possui todos os números possíveis. Números irracionais como "pi" ou raiz quadrada de 2 não equivalem a nenhuma fração, portanto estão irremediavelmente fora de Q.

Galois cunhou o conceito de "extensão de campo". Por exemplo, se quisermos trabalhar com números complexos, basta estender o Q com o número "i" (a raiz quadrada de -1). Na notação de Galois: Q(i). Fazendo isto, todos os números no formato a+b.i passam a fazer parte do campo Q(i).

O formato "a + b.i" é propositado. Ele tem três características importantes. Primeiro, ele coincide com a definição de número complexo que aprendemos no segundo grau. Segundo, ele engloba os números racionais que já existiam no campo Q original (basta fazer b=0).

Terceiro, ele assegura que o campo estendido continua sendo um campo — toda operação aritmética executada com números racionais complexos também resulta num número racional complexo. (Não vou provar isto aqui, mas basta recapitular as aulas de números complexos).

Em resumo, a extensão de um campo permite suportar uma infinidade de números "estranhos" ao campo original, mediante a introdução de apenas um elemento. É uma notação bastante enxuta.

Agora, vejamos a solução da equação de segundo grau:

discriminante = b2 - 4c
x1, x2 = (-b +/- discriminante1/2) / 2

A solução envolve uma raiz quadrada. Isto significa que talvez precisemos estender o campo Q duas vezes para expressar as raízes.

Uma extensão é o número "i", que já vimos antes. Ela é necessária porque o discriminante pode ser negativo, e a raiz quadrada de um número negativo é um número imaginário (e.g. (-4)1/2 = 2i).

Outra extensão é a própria raiz quadrada, porque ela pode não ser um número racional. Por exemplo, a raiz quadrada de 2, 3, 5, ou de qualquer número primo não é racional e não pertence a Q.

Supondo a simplíssima equação do segundo grau:

x2 = -3
x = +/-(31/2)i

o campo Q precisa de duas extensões para expressar as duas raízes, ficando então Q(i, 31/2), ou Q(i)(31/2), indicando duas extensões encadeadas.

Assim com a extensão Q(i) inclui todo número no formato a+b.i, a extensão Q(31/2) inclui todo número exprimível na forma a+b.31/2. As duas extensões juntas exprimem quaisquer números na forma a+b.i+c.31/2+d.i.31/2, o que é suficiente para expressar os valores +31/2i e -31/2i.

Note que surgiu o fator "d", devido à combinação das duas extensões. O produto da raiz de 3 com "i" acaba sendo uma extensão implícita adicional, que é necessária pois do contrário o resultado da multiplicação da raiz de 3 por "i" ficaria de fora do conjunto estendido. Ou seja, a operação deixaria de ser "fechada" e não queremos que isto aconteça.

O número de fatores cresce bem rápido: um conjunto com três extensões já vai possuir sete fatores, e quatro extensões significariam 15 fatores! Exemplo com três extensões:

i = 11/2 r = 21/2
s = 21/3
Q(i, r, s) onde todo número é exprimível na forma:
n = a + b.i + c.r + d.s + e.i.r + f.i.s + g.i.r.s
a, b, c, d, e, f, g são fatores racionais

Permutações e simetrias

Os campos de Galois foram inspirados pelo teorema de Abel-Ruffini, assim é interessante voltar aos polinômios para recontar a história em ordem cronológica.

Equações algébricas têm interessantes características de simetria. Vamos voltar a olhar para a humilde equação do segundo grau:

x2 + bx + c = 0

Conforme vimos, este polinômio pode ser fatorado em diversos polinômios de 1º grau:

(x - x1)(x - x2) = 0

onde x1 e x2 são as raízes da equação, pois quando "x" fica igual a "x1" ou "x2", uma das subtrações resulta zero, multiplicando toda a expressão por zero.

Também aprendemos a achar as raízes em função dos coeficientes, com a fórmula de Báscara:

x1, x2 = (-b +/- (b2 - 4c)1/2) / 2

Uma coisa que até foi mostrada em sala de aula, mas não foi estressada, foi a fórmula inversa, ou seja, expressar os coeficientes em função das raízes — facilmente obteníveis multiplicando-se os termos do polinômio fatorado:

-b = x1 + x2
c = x1.x2

Note que estas fórmulas, conhecidas como fórmulas de Viète, são muito mais simples que a de Báscara. Mais importante, são fórmulas simétricas. Podemos fazer qualquer permutação entre as raízes, que os resultados são sempre os mesmos. Isto vale para coeficientes de qualquer grau.

Com um pouco de esforço, podemos calcular os coeficientes da equação de terceiro grau a partir das raízes x1, x2, x3. E constatar que as fórmulas também são imunes a permutações:

x3 + bx2 + cx + d = 0

-b = x1 + x2 + x3
c = x1.x2 + x1.x3 + x2.x3
d = x1.x2.x3

Existe um certo paradoxo aqui. Achar os coeficientes em função das raízes é fácil e usa fórmulas simples, simétricas, racionais. Por outro lado, as fórmulas "inversas" — achar raízes em função dos coeficientes — não podem ser simétricas, já que há várias raízes para encontrar. As fórmulas acabam assimétricas, complicadas e irracionais.

A prova de Abel consiste em várias partes. A primeira parte consiste em provar que toda solução algébrica para uma equação de m-ésimo grau pode ser expressa na forma

x = p + R1/m + p2.R2/m + ... p(m-1).R(m-1)/m

p, p2, p3... = funções racionais dos coeficientes
R = uma função irracional dos coeficientes

Podemos encaixar facilmente as soluções de equações de 2º, 3º e 4º grau nesta forma. No caso de Báscara, m=2, então a fórmula genérica fica muito simples:

x = p + R1/2

p = -b/2
R = b2/4-c

Mas a equação de segundo grau tem duas soluções, não apenas uma. Para obter a outra raiz por meio desta fórmula, multiplicamos R pela "raiz de 1". Sendo equação do segundo grau, são as raízes quadradas da unidade: +1 e -1.

x1 = p + (+1).R
x2 = p + (-1).R

o que faz o papel do +/- da fórmula de Báscara.

Distinguimos entre a raiz "trivial" da unidade (+1) e a "primitiva" (-1). Não parece uma distinção muito informativa. Mas a coisa fica mais interessante nos graus superiores. Quando o grau é primo (2, 3, 5) todas as raízes n-ésimas primitivas da unidade são números complexos. Por exemplo, as raizes cúbicas de 1 são três, duas delas primitivas:

+1
(-1-31/2i)/2
(-1+31/2i)/2

As raízes primitivas são interessantes porque, conhecendo uma delas, obtemos facilmente as demais, com potenciação:

A = (-1-31/2i)/2
A2 = (-1+31/2i)/2
A3 = 1

Este truque obviamente não funcionaria se aplicado sobre a raiz trivial, já que 1n é sempre igual a 1.

Fomos ensinados no ensino fundamental que, por exemplo, a raiz quadrada de 16 pode ser +4 ou -4. Na verdade podemos pensar diferente: a raiz quadrada de 16 é sempre +4, porém a raiz da unidade "oculta" pode ser +1 ou -1 (sempre podemos pensar que 16 = 1 x 16). Naturalmente, -1 x 4 =-4.

Voltando à solução genérica de equações polinomiais...

Note que esta solução "genérica" não desmerece os trabalhos de Báscara, Cardano e outros, que encontraram soluções para as equações de 2º, 3º e 4º grau. Achar as equações de "p" e "R" ainda é difícil, e exige basicamente os mesmos passos das deduções originais de Báscara e Cardano. O conceito de solução genérica foi introduzido apenas para provar que não existe solução para o 5º grau.

Os pulos do gato

O primeiro "pulo do gato" de Abel foi provar que a função R1/m, considerada como uma caixa-preta, pode ser expressa por uma função racional das raízes. Tomando novamente o exemplo de Báscara:

R = b2-4c
-b = x1 + x2
c = x1.x2

então

R = (x12 + 2.x1.x2 + x22 - 4.x1.x2)/4
R = (x12 - 2.x1.x2 + x22)/4
R = (x1 - x2)2/4
R1/2 = (x1 - x2)/2

Note que a raiz quadrada do discriminante de Báscara vira simplesmente a diferença entre as raízes da equação. A raiz quadrada desaparece. Para encontrarmos x2, basta multiplicar R pela raiz primitiva de 1 (A=-1):

R para x2 = A.R = (-1).(x1 - x2)/2 = (x2 - x1)/2

Note que multiplicar R por -1 equivale a permutar as raízes x1 e x2. Isso parece óbvio aqui, já que trata-se apenas de multiplicar por -1. Mas este truque mantém-se para equações cúbicas, muito embora a raiz cúbica primitiva de -1 seja um número complexo.

No caso da equação de terceiro grau, as equações de resolução ficam:

x1 = p + R1/3 + p.R2/3
x2 = p + A.R1/3 + A2.p.R2/3
x3 = p + A2.R1/3 + A.p.R2/3

Note que a equação para a raiz x1 não possui "A" (raiz cúbica primitiva de 1), enquanto as equações para as raízes x2 e x3 levam "A". Há apenas duas raízes cúbicas primitivas de 1, então só há dois arranjos possíveis, exatamente o que precisávamos.

Assim, as raízes são três, mas as raízes que envolvem "A" são apenas duas. Na equação do segundo grau, aconteceu a mesma coisa: duas raízes, apenas uma envolve -1. O mesmo vale para qualquer grau, e isto vai ser um ingrediente importante da prova de Abel.

O segundo "pulo do gato" de Abel foi este: estabelecer que a função R1/m retorne exatamente "m" valores, dadas todas as permutações possíveis das raízes.

Recapitulando então: a função R, que é a espinha dorsal da solução de uma equação algébrica, é, ao mesmo tempo:

Portanto, existe uma ligação indissolúvel entre permutação (de raízes) e a multiplicidade de raízes da unidade.

Na sua versão "racional", R1/m tem de possuir uma certa simetria. Naturalmente R1/m não pode ser uma função totalmente simétrica, porque assim ela retornaria sempre o mesmo valor, e ela precisa retornar "m" valores diferentes, onde "m" é o grau da equação.

No caso de Báscara, tudo isto é fácil de atender, pois R1/2 tem de retornar 2 valores diferentes, para que possamos achar 2 raízes. Como só há 2 permutações possíveis, não há dúvida.

No caso das equações do 3º grau, a versão "racional" de R1/m, função das três raízes, aceita 3 parâmetros: x1, x2 e x3, o que nos dá 6 combinações possíveis. Mas a função que procuramos só pode retornar 3 valores diferentes.

Assim, segundo Abel, se existe uma função R1/m que atende aos requisitos de simetria, então existe solução para a equação de grau "m".

A prova

Por outro lado, vimos antes que nem todas as equações de resolução das raízes fazem uso de raízes primitivas de 1. No caso da equação de terceiro grau, apenas duas raízes precisam delas.

Por conta desta constatação, Abel provou que tem de ser possível desenvolver outra fórmula racional, baseada nas raízes, que retorne um valor a menos que R1/m, com o mesmo número de parâmetros.

Esta nova fórmula foi batizada de S1/n, onde "n" é o número de valores desejado. No caso de uma equação de terceiro grau, seria S1/2 (em contraposição a R1/3).

A fórmula S1/n reflete o fato que, para resolver uma equação de grau "n", temos de resolver uma equação de grau imediatamente inferior no processo; e tendo um grau a menos, esta equação intermediária tem uma raiz a menos.

No caso da equação quadrática, a fórmula de Báscara é uma equação do primeiro grau, embora não pareça, porque na apresentação mais comum o "X" já está em evidência.

No caso da equação cúbica, o método de Cardano transforma a equação de diversas formas até acabar numa equação do segundo grau, que já sabemos resolver com Báscara. A mesma coisa com a equação quártica: acha-se uma equação resolvente cúbica, que por sua vez tem resolvente quadrática...

No caso da equação quíntica ou maior, a função R1/m tem de retornar exatamente cinco valores, então S1/n teria de retornar quatro valores (ou dois, se considerarmos [S1/2]1/2).

Cauchy tinha provado que, se uma função tem "n" parâmetros, ela deve retornar no mínimo 1, 2 ou então "p" resultados, onde "p" é o maior primo que divide n!. No caso de n=5, n!=120 e o maior primo que divide 120 é, obviamente, 5. Assim, uma função com cinco parâmetros pode retornar 1, 2 ou 5 resultados, mas nunca 4. Isto é um problema para a resolução da equação quíntica.

Segundo Cauchy, uma fórmula com 5 parâmetros pode retornar 2 resultados, então a forma [S1/2]1/2 poderia ser uma saída. Mas Abel também provou que esta solução não serve.

Sendo assim, se não podemos achar funções R e S adequadas, não podemos resolver a equação do quinto grau.

Estas limitações não são problema para equações do segundo grau, porque R(x1, x2) retorna dois resultados (ok segundo Cauchy) e S(x1, x2) retorna um (também ok).

Para terceiro grau, R(x1, x2, x3) retorna três valores (ok, 3 é o maior primo que divide 3!=6) e S(x1, x2, x3) retorna dois (ok segundo Cauchy; sempre é possível construir funções que retornem apenas dois valores).

Para o quarto grau, R(x1, x2, x3, x4) retorna quatro valores (múltiplo de 2, ok) e S(x1, x2, x3, x4) retorna três valores (ok porque 3 é o maior primo que divide 4!=24).

Tudo isto refere-se a uma hipotética solução GERAL da equação de 5º grau, tal qual Báscara é para 2º grau. Algumas equações de 5º grau podem ser resolvidas algebricamente. Algumas bem facilmente até, como esta:

x5 - 32 = 0
x = 2 (trivial)
A = 11/5 (raiz primitiva quinta de 1)
x(n) = 2.An (formato geral das cinco raízes)

A raiz óbvia, trivial, da equação é x=2. Normalmente é a única solução em que estamos interessados. Mas na verdade há cinco soluções. Quatro delas estão relacionadas às quatro raízes primitivas de 1.

Uma equação quíntica é solúvel quando pelo menos duas raízes estão algebricamente relacionadas. Assim há apenas quatro incógnitas, no máximo, o que equivale a uma equação quártica. No exemplo acima, propositadamente simples, todas as cinco raízes são "aparentadas".

Volta ao campo de Galois

Em termos de campos de Galois, o teorema de Abel-Ruffini significa que não podemos criar um campo que contenha as raízes de uma equação de quinto grau ou superior, pelo método de adicionar uma quantidade finita de extensões.

Algumas equações do quinto grau podem ser resolvidas algebricamente. Vejamos um exemplo parecido com o anterior:

x5 - 3 = 0
x = 31/5 . 1n/5

Neste caso o campo de Galois que contém as raízes pode ser construído com extensões: Q(i, 11/5, 31/5), onde 11/5 é uma raiz primitiva da unidade. Note que tivemos de adicionar também a raiz quinta de 3, por ser um número irracional.

Este é um exemplo da importância do campo de Galois. Com ele, pode-se determinar se uma equação em particular pode ser resolvida algebricamente, enquanto o teorema de Abel-Ruffini trata do caso geral.

Quase, mas só quase

O matemático Lagrange tinha chegado a uma conclusão parecida à de Abel e Ruffini, embora por outro caminho. Ele criou o conceito de "equação resolvente", um método de resolver a equação construindo outras de grau menor.

Por exemplo, para resolver uma equação de quarto grau, acha-se a resolvente de terceiro grau, e então a resolvente de segundo grau, que é facilmente resolvida com Báscara.

Para achar os coeficientes das equações resolventes, Lagrange também fez uso de permutações das raízes, e também concluiu que as funções necessárias seriam funções racionais das raízes, com certos requisitos de simetria.

Para resolver a equação quártica, é preciso determinar a equação resolvente cúbica, que pede 3 coeficientes. Assim, é preciso que exista uma função racional que, a partir das 4 raízes (e 24 combinações), retorne no máximo 3 resultados diferentes.

Lagrange conseguiu achar funções com a necessária simetria para 3 e 4 raízes, mas não para 5 raízes. Com 5 parâmetros, as funções retornavam no mínimo 6 resultados diferentes, o que significaria uma resolvente de sexto grau (pior que a equação de quinto grau original). Por conta disso o matemático desconfiou que a equação de quinto grau ou superior não tinha solução (como fórmula fechada), mas não chegou a provar isso cabalmente.

Uma explicação mais intuitiva e os grupos de Galois

Uma forma mais intuitiva de explicar tudo que foi dito antes, que achei aqui, é a seguinte.

Para resolver (com fórmula fechada) uma equação de grau "n", precisamos montar um sistema simétrico de "n-1" equações. Equação simétrica é aquela que não se altera quando embaralhamos (permutamos) os valores.

Neste caso, o sistema é que precisa ser simétrico; embaralhar os parâmetros pode alterar uma equação individual, mas a equação original reaparece noutro lugar, mantendo inalterado o sistema como um todo.

No caso da equação de segundo grau, o sistema tem apenas uma equação e é fácil fazê-la simétrica:

A + B = p

Obviamente, no sistema acima, trocar A por B não altera os resultados. Também, só existem duas combinações possíveis: deixar A e B onde estão, ou trocar um pelo outro.

A propósito, A e B seriam as raízes da equação de segundo grau. O objetivo de um sistema de equações é achar as incógnitas (no caso, as raízes).

Normalmente, para encontrar "n" incógnitas precisamos de um sistema de "n" equações, porém as raízes de um polinômio são sempre inter-relacionadas, de modo que "n-1" equações bastam. Basta olhar a fórmula de Báscara: a diferença entre as duas raízes é função do determinante. Conhecendo uma raiz, é fácil achar a outra.

No caso de equações de terceiro grau, também podemos montar um sistema simétrico, com duas equações e um pouco mais complexo:

AAB + BBC + CCA = p
ABB + BCC + CAA = q

No sistema acima, substituir qualquer letra por outra muda as duas equações. Por exemplo, substituir A por B resulta em:

BBA + AAC + CCB
BAA + ACC + CBB

As duas equações mudaram de valor, mas repare bem que a primeira equação transformou-se na segunda, e a segunda transformou-se na primeira. Desde que também permutemos "p" e "q", no lado direito, o sistema como um todo não muda:

BBA + AAC + CCB = q
BAA + ACC + CBB = p

Uma permutação simples, como A por B, é denominada "impar". Uma permutação dupla, como "A por B e B por C" é denominada "par". Se três trocas fossem feitas, seria novamente uma permutação ímpar e assim por diante. Um teste exaustivo mostra que as permutações pares mantém "p" e "q" nos lugares originais, nas equações acima.

O conjunto, ou grupo, de todas as permutações possíveis entre A, B e C é denominado S3 na teoria de Galois. Dentro deste grupo, apenas algumas permutações nos interessam:

O subgrupo de S3 com as permutações "boas" é denominado é denominado A3. Conforme vimos antes, as permutações pares de S3 é que são "boas", e A3 é justamente o subgrupo de permutações pares. É pelo fato de A3 existir que o sistema de equações ilustrado acima também pode ser encontrado.

O subgrupo A3 tem ainda a interessante característica de ser cíclico: uma permutação qualquer aplicada repetidamente acaba retornando as letras para as posições originais. Todo grupo cíclico é abeliano, mas isto não é um requisito (há grupos abelianos não-cíclicos).

É importante deixar claro que um sistema de equações completamente simétrico não serviria para resolver a equação polinominal. Por exemplo:

ABC = p
A+B+C = q

é um sistema de equações completamente imune a qualquer permutação entre A, B e C. Conforme provado por Abel e Ruffini, equações nesta forma não servem para determinar as raízes; precisamos que os valores de "p" e "q" troquem de lugar quando fazemos permutações "ruins" (as que estão contidas em S3 mas não em A3).

Se tais equações servissem, poderíamos achar fórmulas para as raízes de equações de qualquer grau a partir dos coeficientes dos polinômios; porque os coeficientes sempre são resultado de uma operação aritmética simétrica com as raízes.

No caso de equações de quarto grau, precisamos de um sistema de três equações:

AB + CD = p
AC + BD = q
AD + BC = r

Novamente, qualquer rearranjo de letras A, B, C, D devolve um sistema de equações cujo lado esquerdo é apenas reordenado, não alterado. O grupo de todas as permutações possíveis é denominado S4, e o respectivo subgrupo de permutações pares é denominado A4.

Infelizmente, a grande maioria das permutações pares também muda o lado direito neste caso. Por, exemplo, (AB)(BC), ou seja trocar A por B e B por C, muda o lado direito para "q", "r", "p", de cima para baixo.

Mas existe um pequeno subconjunto das permutações pares que ainda mantém o lado direito estável. Por exemplo, (AB)(CD), ou seja, substituir A por B e também C por D. Este subgrupo de A4 é denominado V ou grupo-4 de Klein na literatura técnica. O grupo V é abeliano, e é devido a isto que o sistema de equações acima pode existir.

No caso da equação de quinto grau, não é possível montar um sistema de quatro equações e cinco variáveis que atenda a todos os requisitos ao mesmo tempo.

O grupo de Galois para permutações de cinco elementos (A, B, C, D, E) é denominado de S5. Dentro deste, há o subgrupo de permutações pares A5. Mas tanto S5 quanto A5 são insolúveis, pois não são abelianos, nem possuem subgrupos abelianos.

Dentro da teoria de Galois, isto é explicação bastante do porquê não pode haver um sistema de equações na forma necessária para resolver a equação de quinto grau.

Referências:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2008/10/abels-impossibility-proof.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.br/2008/08/cauchys-theorem-on-permutations-of.html

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