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Transformadas de Laplace, Fourier e Z

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Eu estava preparando um texto bem mais longo sobre transformada de Fourier, mas estava virando quase um livro, talvez devesse mesmo fazer um e-book a respeito. Por ora, vamos falar de algumas transformadas que são aparentadas entre si.

A transformada de Laplace aparece no estudo de sistemas analógicos e de controle, como neste artigo sobre controladores PID. Antes do processamento digital de sinais, Laplace era o pão-com-manteiga dos engenheiros de áudio, por exemplo.

Estas transformadas sugiram pelo esforço dos cientistas em resolver equações diferenciais, então precisamos falar muito de leve a respeito delas.

Equações diferenciais

Uma equação diferencial apresenta uma igualdade que envolve a derivada, ou taxa de variação, de uma função. A solução dela não é um valor: é uma outra equação, sem derivadas. Por exemplo, a equação diferencial elementar

f'(x) = 3

nos diz que a taxa de variação de f'(x) é 3 — se "x" muda em uma unidade, f(x) muda três unidades. A solução dela é

f(x) = 3x + C

ou seja, é uma simples reta. Apenas esta função satisfaz à equação diferencial inicial. A remoção da constante "C" depende de estabelecer uma condição inicial. Por exemplo, se estabelecermos que f(0)=2, então "C" tem de ser igual a 2.

f(0) = 2       então
f(x) = 3x + 2

Equações diferenciais ficam mais interessantes quando tanto a função original quanto sua derivada aparecem na mesma fórmula. Isto significa que a função f(x), que desejamos descobrir, é de alguma forma relacionada à sua própria taxa de variação.

O exemplo não-trivial mais clássico é o esfriamento de um objeto quente, como uma xícara de café. Como você já deve ter percebido, o café esfria mais rápido quando está bem quente, e tende cada vez mais devagar à temperatura ambiente.

Supondo um café a 100 graus, ambiente a 20 graus, e uma taxa de esfriamento de 4 graus por minuto quando a diferença de temperatura é 80 graus (que é a condição inicial, já que 80=100-20), temos a seguinte equação diferencial:

y(0) = 100                            condição inicial

y'(t) = (4 / 80) * [ y(t) - 20 ]      t em minutos

y'(0) = (4 / 80) * [ 100 - 20 ] = 4

Na forma acima, não é fácil determinar a temperatura do café ao longo do tempo (por exemplo, daqui a dez minutos, t=10). Para isso, precisamos resolver a equação. No artigo sobre PID resolvemos usando Laplace, então vou pedir licença para colocar só a solução, e o gráfico dela no tempo:

y(t) = 20 + 80 * exp(-[4/80].t)
Figura 1: Café esfriando: exponencial negativa

Com a equação acima na mão, é fácil determinar que, no décimo minuto, o café vai estar a 68.52 graus. (Acho que subestimei a taxa de esfriamento, mas a solução geral é essa.)

"Exp" é a função exponencial, ou seja, o número "e" elevado a algum expoente. Na curva acima o expoente é sempre negativo. Por ser um exponencial negativo, ele tende a zero e a equação que encontramos tende a 20, refletindo bem o fato do café tender à temperatura ambiente.

Na maioria das equações diferenciais, a solução envolve exponencial e/ou seno/cosseno. Isto se deve ao fato da exponencial ser igual à sua própria derivada, e seno/cosseno são iguais às suas derivadas de um instante anterior. Seguem algumas equações diferencias elementares, com suas soluções:

y'(t) = y(t)
condição inicial: y(0) = 1
solução: y = exp(t)
(cresce exponencialmente)

y'(t) = -y(t)
condição inicial: y(0) = 1
solução: y = exp(-t)
(tende a zero)

y'(t) = y(t + π/2)
y(0) = 0
solução: y(t) = sin(x)
(oscila)
outra solução, trivial: y(t) = 0

y'(t) = y(t + π/2)
y(0) = 1
solução: y(t) = cos(x) = sin(x + π/2)
(oscila)

Laplace

Sistemas mais complexos, como um pêndulo que enfrenta a resistência do ar, vão apresentar soluções compostas tanto de componentes exponenciais (que freiam o pêndulo até parar) quanto ondulatórios (a oscilação natural do pêndulo).

A transformada de Laplace, como toda transformada, converte uma função ou equação para outro formato. Por exemplo:

y'(t) = y(t)               equação diferencial no tempo
s.Y(s) - y(0) = Y(s)       a mesma equação após transf. de Laplace

Não vou descrever a definição de transformada de Laplace, como ela é calculada, etc. Isso os inúmeros artigos da Internet, a começar pela Wikipedia, fazem muito bem. Meu interesse aqui é dizer para que ela serve.

É difícil dizer o que a fórmula transformada realmente significa. Mas ela não é "melhor" ou "pior" que a original. As duas são equivalentes, têm a mesma quantidade de informação. A versão transformada pode ser "destransformada" sem nenhuma perda.

A primeira grande utilidade de Laplace é simplificar a resolução de equações diferenciais, porque derivadas e integrais viram multiplicações ou divisões pelo fator "s". As manipulações ficam muito mais simples.

s.Y(s) - y(0) = Y(s)
(s - 1).Y(s) = y(0)
solução em Laplace
Y(s) = y(0) / (s - 1)
transformada inversa de Laplace:
y(t) = y(0).exp(t)

Muitos métodos práticos de resolução destas equações, que foram descobertos de forma "empírica", como o cálculo operacional de Heaviside, têm sua prova assentada na transformada de Laplace.

Outra utilidade importante de Laplace é descobrir de forma rápida como um sistema vai se comportar. (Ou melhor, verificar como a equação que descreve um sistema se comporta.) Como a variável "s" da transformada é complexa, os valores da fórmula transformada formam um plano, ou mapa.

Neste mapa, os pontos mais importantes são os "pólos", ou seja, pontos onde a fórmula tende a infinito. Isto não constitui defeito ou problema; é normal uma fórmula transformada ter esses pólos, Por exemplo, na solução

Y(s) = y(0) / (s - 1)

o pólo é um número real, s=1. Pólo positivo significa que a função cresce sem limite, e de fato a solução final mostra um exponencial positivo. A Figura 2 mostra diversos tipos de função e onde caem os pólos das respectivas transformadas de Laplace.

Figura 2: Plano laplaciano e localização dos pólos de acordo com o caráter da função

Este tipo de análise é extremamente útil em sistemas baseados em feedback, porque permite provar que um sistema é estável (pólo no lado negativo), instável (pólo no lado positivo ou perto do eixo Y), e quanto ele oscila até chegar na estabilidade (distância do eixo X). Ninguém quer um controlador instável tomando conta de um tanque de gás, por exemplo.

A bem da verdade, hoje em dia os sistemas são mais facilmente verificados por simulação. Antes de haver computadores, Laplace era a ferramenta que havia. A importância no presente é a fundamentação teórica.

Funções oscilatórias têm pólos complexos (com parte imaginária diferente de zero). É importante dizer que, para funções reais (e em geral as funções que descrevem fenômenos físicos são reais) os pólos complexos sempre aparecem em pares conjugados, que se compensam na transformada inversa.

A variável "s" é costumeiramente chamada de "domínio da freqüência". No sentido vertical (eixo Y ou imaginário), o valor de "s" de fato mede freqüência. No sentido horizontal (eixo X ou real) o valor de "s" mede convergência e divergência.

Muitas funções, e sinais, não convergem nem divergem. Por exemplo, um sinal de áudio, que nunca ultrapassa certo volume. Para este tipo de sinal, a transformada de Laplace não gera um mapa muito útil. A transformada de Fourier é mais interessante.

Transformada de Fourier

A transformada de Fourier é a transformada de Laplace calculada apenas para valores imaginários de "s". Ou seja, apenas sobre o eixo Y da Figura 2.

Sendo assim, a transformada de Fourier gera apenas uma linha de números, não um mapa como Laplace. Fourier mede apenas o caráter ondulatório de uma função ou sinal, ou seja, restringe-se a uma dimensão do mapa de Laplace.

Fourier possui implementações numéricas eficientes (FFT), então é possível analisar sinais de qualquer gênero, sem precisar conhecer sua função. (Também existem métodos numéricos para Laplace, mas o fato deste gerar um mapa bidimensional torna a tarefa muito mais demorada.)

Na maioria das aplicações práticas de Fourier, não estamos interessados apenas em pólos. Todos os valores de todos os pontos são importantes. Manipular os valores da transformada e depois executar a transformação inversa é a forma mais simples de implementar um filtro.

Fourier também pode ser utilizado para resolver alguns tipos de equação diferencial; esta foi a motivação inicial de sua invenção.

Transformada Z

A transformada Z é considerada a versão discreta da transformada de Laplace. Ela também gera um plano bidimensional, e a posição dos pólos também é a informação mais importante que a transformada pode fornecer.

Porém, ela é calculada de forma diferente, então o significado de cada parte do plano é diferente de Laplace. A Figura 3 mostra a correspondência.

Figura 3: Comparação entre plano de Laplace e da transformada Z

Olhando a Figura 3 os pólos do plano Z,

Se um pólo de Laplace com valor imaginário muito alto (ou seja, freqüência muito alta) for convertido para a transformada Z, sua freqüência será distorcida conforme o fenômeno de aliasing. Por exemplo, se a freqüência de amostragem for 180Hz, a freqüência máxima é 90Hz, e um pólo de 91Hz apareceria com 89Hz no plano Z. É o mesmo que acontece no mundo real se um sinal de 91Hz for digitalizado a 180Hz.

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